2015_省自主命题（湖北）
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 中，以 O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 的极坐标方程为xoy x l$\rho ( \sin \theta - 3 \cos \theta ) = 0$ ，曲线 的参数方程为C $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = t - { \frac { 1 } { t } } , } \\ { \displaystyle y = t + { \frac { 1 } { t } } } \end{array} } \right.$ ( 为参数) ， 与 C相交于 两点，则t l A , B$\mid A B \mid =$
$2 \sqrt { 5 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $2 \sqrt { 5 }$
【解析】因为 $\rho ( \sin \theta - 3 \cos \theta ) = 0$ ，所以 $\rho \sin \theta - 3 \rho \cos \theta$ ，所以 $y - 3 x = 0$ ，即 $y = 3 x$
由 $\left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = t - { \frac { 1 } { t } } , } \\ { \displaystyle y = t + { \frac { 1 } { t } } } \end{array} } \right.$ 消去t得 $y ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 4$ .联立方程组 $\left\{ { \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 4 } \end{array} } \right.$ ，解得 $\left\{ x = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \\ { \displaystyle y = - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } } \end{array} \right.$
即 $A ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } ) , B ( - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } )$
由两点间的距离公式得 $A B | = \sqrt { ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } + \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 5 }$
【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.
【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.