己知数列 a _ n 各项均为正数，其前n项和 S _ n…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①③④

【解析】

【分析】推导出 $a _ { _ n } = { \frac { 9 } { a _ { _ n } } } - { \frac { 9 } { a _ { _ { n - 1 } } } }$ ，求出 $a _ { 1 } , \ a _ { 2 }$ 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.

【详解】由题意可知， $\forall n \in \mathbf { N } ^ { * } , a _ { n } > 0$

当 $n = 1$ 时， $a _ { 1 } ^ { 2 } = 9$ ，可得 $a _ { 1 } = 3$

当 $n \geq 2$ 时，由 $S _ { n } = { \frac { 9 } { a _ { n } } }$ 可得 $S _ { n - 1 } = \frac { 9 } { a _ { n - 1 } }$ ，两式作差可得 $a _ { n } = { \frac { 9 } { a _ { n } } } - { \frac { 9 } { a _ { n - 1 } } }$

所以， $\frac { 9 } { a _ { n - 1 } } = \frac { 9 } { a _ { n } } - a _ { n }$ ，则 $\frac { 9 } { a _ { 2 } } - a _ { 2 } = 3$ ，整理可得 $a _ { 2 } ^ { 2 } + 3 a _ { 2 } - 9 = 0$

因为 $a _ { 2 } > 0$ ，解得 $a _ { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 5 } - 3 } { 2 } < 3$ ，①对；

假设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ _{为等比数列，设其公比为}q_，则 $a _ { 2 } ^ { 2 } = a _ { 1 } a _ { 3 }$ ，即 $\left( { \frac { 9 } { S _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 8 1 } { S _ { 1 } S _ { 3 } } }$

所以， $S _ { 2 } ^ { 2 } = S _ { 1 } S _ { 3 }$ ，可得 $a _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 + q \right) ^ { 2 } = a _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 + q + q ^ { 2 } \right)$ ，解得 $q = 0$ ，不合乎题意，

故数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 不是等比数列，②错；

当 $n \geq 2$ 时， $a _ { n } = { \cfrac { 9 } { a _ { n } } } - { \cfrac { 9 } { a _ { n - 1 } } } = { \cfrac { 9 { \cfrac { ( a _ { n - 1 } - a _ { n } ) } { a _ { n } a _ { n - 1 } } } > 0 } { a _ { n } a _ { n - 1 } } }$ ，可得 $a _ { n } < a _ { n - 1 }$ ，所以，数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为递减数列，③对；

假设对任意的 $n \in \mathrm { N } ^ { * } , a _ { n } \geq \frac { 1 } { 1 0 0 }$ ，则 $S _ { 1 0 0 0 0 } \geq 1 0 0 0 0 0 \times \frac { 1 } { 1 0 0 } = 1 0 0 0$

所以， $a _ { 1 0 0 0 0 } = \frac { 9 } { S _ { 1 0 0 0 0 } } \leq \frac { 9 } { 1 0 0 0 } < \frac { 1 } { 1 0 0 }$ ，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.