【考点】8M：等差数列与等比数列的综合
【专题】54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）当i=1时， $\mathsf { A } _ { 1 } = 3 , \mathsf { B } _ { 1 } = 1$ ，从而可求得 ${ \sf d } _ { 1 }$ ，同理可求得 ${ \sf d } _ { 2 } , \ { \sf d } _ { 3 }$ 的值；（Ⅱ）依题意，可知 $a _ { \mathrm { n } } \mathrm { = } \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { q } ^ { \mathsf { n } - 1 } ~ ( \mathsf { a } _ { 1 } \mathrm { > } 0 , ~ \mathsf { q } \mathrm { > } 1 )$ ），由 $d _ { k } = \partial _ { k } - a _ { k + 1 } \Rightarrow d _ { k - 1 } = \partial _ { k - 1 } - a _ { k }$ （k$\geq 2 )$ ），从而可证 $\frac { d _ { k } } { d _ { k - 1 } } ( k \geq 2 )$ 为定值
（Ⅲ）依题意， $0 { < } { \mathsf { d } } _ { 1 } { < } { \mathsf { d } } _ { 2 } { < } . . . { < } { \mathsf { d } } _ { { \mathsf { n } } - 1 }$ ，可用反证法证明 $\mathsf { a } _ { 1 } , \mathsf { a } _ { 2 } , . . . , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } - 1 }$ 是单调递增数列；再证明 $\mathsf { a } _ { \mathsf { m } }$ 为数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中的最小项，从而可求得是 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } } \mathsf { = } \mathsf { d } _ { \mathsf { k } } \mathsf { + } \mathsf { a } _ { \mathsf { m } }$ ，问题得证
【解答】解：（Ⅰ）当 i=1 时， $\mathsf { A } _ { 1 } = 3 , \mathsf { B } _ { 1 } = 1$ ，故 ${ \mathsf { d } } _ { 1 } { = } { \mathsf { A } } _ { 1 } - { \mathsf { B } } _ { 1 } { = } 2$ ，同理可求 $d _ { 2 } = 3$ $d _ { 3 } = 6$ ；
（Ⅱ）由 ${ \sf a } _ { 1 } , ~ { \sf a } _ { 2 } , ~ . . . , ~ { \sf a } _ { { \sf n } - 1 } ~ ( { \sf n } \geq 4 )$ 是公比 q 大于 1 的等比数列，且 $\mathsf { a } _ { 1 } > 0$ ，则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$
的通项为： $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } { = } \mathsf { a } _ { 1 } \mathsf { q } ^ { \mathsf { n } - 1 }$ ，且为单调递增的数列
于是当 $\mathsf { k } { = } 1 , ~ 2 , ~ \ldots \mathsf { n } - 1$ 时， ${ \mathsf { d } } _ { \mathsf { k } } { = } { \mathsf { A } } _ { \mathsf { k } } - { \mathsf { B } } _ { \mathsf { k } } { = } { \mathsf { a } } _ { \mathsf { k } } - { \mathsf { a } } _ { \mathsf { k } + 1 }$
进而当 $\ k = 2 , \ 3 , \ \ldots \ n - 1$ 时， $\frac { a _ { k } } { a _ { k - 1 } } = \frac { a _ { k } - a _ { k + 1 } } { a _ { k - 1 } - a _ { k } } = \frac { a _ { k } ( 1 - q ) } { a _ { k - 1 } ( 1 - q ) } = q$ 为定值
$\therefore d _ { 1 } , d _ { 2 } , . . . , d _ { n - 1 }$ 是等比数列；
（Ⅲ）设 d 为 ${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , . . . , { \mathsf d } _ { { \mathsf n } - 1 }$ 的公差，
对 $1 { \leqslant } 1 { \leqslant } { \mathsf { n } } - 2$ ，因为 $\mathsf { B } _ { \mathrm { i } } { \leqslant } \mathsf { B } _ { \mathrm { i } + 1 } , ~ \mathsf { d } { > } 0$
所以 $A _ { i + 1 } = B _ { i + 1 } + d _ { i + 1 } \geq B _ { i } + d _ { i } + d > B _ { i } + d _ { i } = A _ { i }$
又因为 $\mathsf { A } _ { \mathsf { i } + 1 } { = } \mathsf { m a x } \left\{ \mathsf { A } _ { \mathsf { i } } , \mathsf { a } _ { \mathsf { i } + 1 } \right\}$ ，所以 $\mathsf { a } _ { \mathsf { i } + 1 } \mathsf { = } \mathsf { A } _ { \mathsf { i } + 1 } \mathsf { > } \mathsf { A } _ { \mathsf { i } } \mathsf { \geq a } _ { \mathsf { i } }$
从而 $\hat { \mathbf { a } } _ { 1 } , ~ \hat { \mathbf { a } } _ { 2 } , ~ \ldots , ~ \hat { \mathbf { a } } _ { n - 1 }$ 为递增数列
因为 $\mathsf { A } _ { \mathsf { i } } { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { i } } ( \mathsf { i } { = } 1 , ~ 2 , ~ \mathsf { \ldots } \mathsf { n } - 1 )$
又因为 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathbf { = A } _ { 1 } \mathbf { - } \mathsf { d } _ { 1 } \mathbf { = a } _ { 1 } \mathbf { - } \mathsf { d } _ { 1 } \mathbf { < a } _ { 1 }$
所以 $\mathsf { B } _ { 1 } { < } \mathsf { a } _ { 1 } { < } \mathsf { a } _ { 2 } { < } \ldots { < } \mathsf { a } _ { n - 1 }$
因此 $\mathtt { a } _ { \mathtt { n } } \mathtt { = } \mathtt { B } _ { 1 }$
所以 $\mathsf { B } _ { 1 } { = } \mathsf { B } _ { 2 } { = } \ldots { = } \mathsf { B } _ { \mathsf { n } - 1 } { = } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$
所以 $a _ { i } = A _ { i } = B _ { i } + d _ { i } = a _ { n } + d _ { i }$
因此对 $\mathsf { i } = 1 , ~ 2 , ~ \ldots , ~ \mathsf { n } - 2$ 都有 $\mathtt { a } _ { \mathrm { i } + 1 } - \mathtt { a } _ { \mathrm { i } } = { \mathsf { d } } _ { \mathrm { i } + 1 } - { \mathsf { d } } _ { \mathrm { i } } = { \mathsf { d } }$ 9
即 $\hat { \mathbf { a } } _ { 1 } , ~ \hat { \mathbf { a } } _ { 2 } , ~ \ldots , ~ \hat { \mathbf { a } } _ { n - 1 }$ 是等差数列
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题