2022_全国甲卷
11. 已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac 1 3$ ， A , $A _ { 2 }$ 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 $\overrightarrow { B A _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { B A _ { 2 } } = - 1$ ，则C的方程为（ ）
B
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率及 $\overrightarrow { B A _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { B A _ { 2 } } = - 1$ ，解得关于 $a ^ { 2 } , b ^ { 2 }$ 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 $e = { \frac { c } { a } } = { \sqrt { 1 - { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } = { \frac { 1 } { 3 } }$ ，解得 ${ \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 8 } { 9 } }$ $b ^ { 2 } = { \frac { 8 } { 9 } } a ^ { 2 }$
$A _ { 1 } , A _ { 2 }$ 分别为C的左右顶点，则 $A _ { 1 } \left( - a , 0 \right) , A _ { 2 } \left( a , 0 \right)$
B 上顶点，所以 B b(0, )为
所以 $\overrightarrow { B A _ { 1 } } = ( - a , - b ) , \overrightarrow { B A _ { 2 } } = ( a , - b )$ ，因为 $\overrightarrow { B A _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { B A _ { 2 } } = - 1$
所以 $- a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = - 1$ ，将 $b ^ { 2 } = { \frac { 8 } { 9 } } a ^ { 2 }$ 代入，解得 $a ^ { 2 } = 9 , b ^ { 2 } = 8$
故椭圆的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 8 } = 1$
故选：B.