（15）设 a>0 ．若曲线 y= x 与直线 x=a,…——2012 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
（4分）（2012 • 山东）设 $a>0$ ，若曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=a, y=0$ 所围成封闭图形的面积为 $\mathrm{a}^{2}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ $\frac{4}{9}$ ．

考点 定积分在求面积中的应用．
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专题 函数的性质及应用．
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分析 利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求 a 的值．
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解答
：解答 解：由题意，曲线 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $x=a, y=0$ 所围成封闭图形的面积为 $\int \frac{a}{0} \sqrt{x} d x=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$$ \begin{aligned} & \left.\right|_{0} ^{a}=\frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}, \\ & \therefore \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}=a^{2}, \\ & \therefore a=\frac{4}{9} . \end{aligned} $$

故答案为：$\frac{4}{9}$ ．
点评 本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键．