（5分）若函数 f(x)= (1-x^ 2 ) (x^ 2…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．

【分析】由题意得 $f(-1)=f(-3)=0$ 且 $f(1)=f(-5)=0$ ，由此求出 $a=8$ 且 $b =15$ ，由此可得 $f(x)=-x^{4}-8 x^{3}-14 x^{2}+8 x+15$ ．利用导数研究 $f(x)$ 的单调性 ，可得 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-2-\sqrt{5})$ 、 $(-2,-2+\sqrt{5})$ 上是增函数，在区间 $(-2-\sqrt{5},-2)$ 、 $(-2+\sqrt{5},+\infty)$ 上是减函数，结合 $f(-2-\sqrt{5}) =f(-2+\sqrt{5})=16$ ，即可得到 $f(x)$ 的最大值．

【解答】解：∵ 函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称， $\therefore f(-1)=f(-3)=0$ 且 $f(1)=f(-5)=0$ ，

即 $\left[1-(-3)^{2}\right]\left[(-3)^{2}+\mathrm{a} \bullet(-3)+\mathrm{b}\right]=0$ 且 $\left[1-(-5)^{2}\right]\left[(-5)^{2}+\mathrm{a} \bullet(-\right.$ 5）$+b]=0$ ，
解之得 $\left\{\begin{array}{l}a=8 \\ b=15\end{array}\right.$ ，
因此，$f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+8 x+15\right)=-x^{4}-8 x^{3}-14 x^{2}+8 x+15$ ，
求导数，得 $f^{\prime}(x)=-4 x^{3}-24 x^{2}-28 x+8$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x_{1}=-2-\sqrt{5}, x_{2}=-2, x_{3}=-2+\sqrt{5}$ ，

当 $x \in(-\infty,-2-\sqrt{5})$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；当 $x \in(-2-\sqrt{5},-2)$ 时，$f^{\prime}(x)<$ 0；

当 $x \in(-2,-2+\sqrt{5})$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；当 $x \in(-2+\sqrt{5},+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)<0 \therefore f(x)$ 在区间 $(-\infty,-2-\sqrt{5})$ 、 $(-2,-2+\sqrt{5})$ 上是增函数，在区间（ -$2-\sqrt{5}, ~-2) ,(-2+\sqrt{5},+\infty)$ 上是减函数．
又 $\because f(-2-\sqrt{5})=f(-2+\sqrt{5})=16$ ，
$\therefore f(x)$ 的最大值为16．
故答案为： 16 ．
【点评】本题给出多项式函数的图象关于 $\mathrm{x}=-2$ 对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．