2013 新课标 I 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x>0\right\}, B=\{x \mid-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\}$ ，则（）

2．（5分）若复数 $z$ 满足 $(3-4 i) z=|4+3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（ ）

3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中 ，最合理的抽样方法是

4．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为

5．（5分）执行程序框图，如果输入的 $\mathrm{t} \in[-1,3]$ ，则输出的 s 属于（ ） 

6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将 一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（） 

7．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m-1}=-2, S_{m}=0, S_{m+1}=3$ ，则 $m=$

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为   

9．（5分）设 $m$ 为正整数，（ $x+y$ ）${ }^{2 m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a, ~(x+y 2 m+1$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$ ，若 $13 a=7 b$ ，则 $m=$

10．（5分）已知陏圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A , B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则 $E$ 的方程为

11．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

12．（5分）设 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}, \triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}, n=1$ ， 2，3．．．若 $b_{1}>c_{1}, b_{1}+c_{1}=2 a_{1}, a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=\frac{c_{n}+a_{n}}{2}, c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$ ，则（

13．（5分）已知两个单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $60^{\circ}, \overrightarrow{\mathrm{c}}=t \overrightarrow{\mathrm{a}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{b}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{c}}=0$ ，则 $\mathrm{t}=$ $\_\_\_\_$ 2。

14．（5分）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\mathrm{S}_{n}=\frac{2}{3} \mathrm{a}_{n}+\frac{1}{3}$ ，则数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\mathrm{a}_{n}=$ $\_\_\_\_$ $(-2)^{n-1}$. ．

15．（5分）设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

16．（5分）若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 16 ．

17．（12分）如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1, P$ 为 $\triangle A B C$ 内一点 ，$\angle B P C=90^{\circ}$ ． （1）若 $\mathrm{PB}=\frac{1}{2}$ ，求 PA ； （2）若 $\angle A P B=150^{\circ}$ ，求 $\tan \angle P B A$ ． 

18．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$C A=C B, A B=A A_{1}, ~ \angle B A A_{1}=60^{\circ}$ 。 （I）证明 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ； （II）若平面 $A B C \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B, A B=C B=2$ ，求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值。 

19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n ．如果 $\mathrm{n}=3$ ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $\mathrm{n}=4$ ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 $50 \%$ ，即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，且各件产品是否为优质品相互独立． （I）求这批产品通过检验的概率； （II）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

20．（12分）已知圆M：$(x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：$(x-1)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ． （ I ）求 C 的方程； （II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|\mathrm{AB}|$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b, g(x)=e^{x}(c x+d)$ ，若曲线 $y=f(x)$ 和曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 都过点 $\mathrm{P}(0,2)$ ，且在点 P 处有相同的切线 $\mathrm{y}=4 \mathrm{x}+2$ ． （I）求 $a, b, c, d$ 的值； （II）若 $x \geq-2$ 时，$f(x) \leq k g(x)$ ，求 $k$ 的取值范围．

22．（10分）（选修4－1：几何证明选讲） 如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上，$\angle A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ，$D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ 。 （I）证明： $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ； （II）设圆的半径为 $1, B C=\sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径． 

23．已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$ ． （1）把 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程化为极坐标方程； （2）求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标（ $\rho \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi$ ）．

24．已知函数 $f(x)=|2 x-1|+|2 x+a|, g(x)=x+3$ ． （I）当 $a=-2$ 时，求不等式 $f(x)<g(x)$ 的解集； （II）设 $a>-1$ ，且当 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x) \leq g(x)$ ，求 $a$ 的取值范围．