平面上点 A(2,-1) 在矩阵 M = [ array…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
平面上点 $A(2,-1)$ 在矩阵 $\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{ll}a & 1 \\ -1 & b\end{array}\right]$ 对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$ ．
（1）求实数 $a, b$ 的值；
（2）求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$ 。

【答案】①$\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2\end{array}\right.$ ；
②$M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$ ．
【解析】
【分析】
（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 $a, b$ 的值；
②设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解．
【详解】（1）∵ 平面上点 $A(2,-1)$ 在矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}a & 1 \\ -1 & b\end{array}\right]$ 对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$
$\therefore\left[\begin{array}{cc}a & 1 \\ -1 & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right]$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 a-1=3 \\ -2-b=-4\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2\end{array}\right.$
②设 $M^{-1}=\left[\begin{array}{ll}m & n \\ c & d\end{array}\right]$ ，则 $M M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2 m+c & 2 n+d \\ -m+2 c & -n+2 d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 m+c=1 \\ 2 n+d=0 \\ -m+2 c=0 \\ -n+2 d=1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{2}{5} \\ n=-\frac{1}{5} \\ c=\frac{1}{5} \\ d=\frac{2}{5}\end{array}\right.$
$\therefore M^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$
【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．

## B．［选修4－4：坐标系与参数方程］