（本小题满分12分） 已知函数 f(x)= 3 sin 2…——2010 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（12分）（2010•湖南）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{3} \sin 2 \mathrm{x}-2 \sin ^{2} \mathrm{x}$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最大值；
（II）求函数 $f(x)$ 的零点的集合。
【考点】三角函数的最值；集合的含义；函数的零点．
【专题】计算题．
【分析】（I）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案。
（II）令 $f(x)=0$ 可得到 $2 \sqrt{3} \sin x \cos x=2 \sin ^{2} x$ ，进而可得到 $\sin x=0$ 或 $\tan \mathrm{x}=\sqrt{3}$ ，即可求出对应的 x 的取值集合，得到答案。
【解答】解：（I）$\because f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x-2 \sin ^{2} x=\sqrt{3} \sin 2 x+\cos 2 x-1=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)-1$
故函数 $f(x)$ 的最大值等于 $2-1=1$
（II）由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ 得 $2 \sqrt{3} \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}=2 \sin ^{2} \mathrm{x}$ ，于是 $\sin \mathrm{x}=0$ ，或 $\sqrt{3} \cos \mathrm{x}=\sin \mathrm{x}$ 即 $\tan \mathrm{x}=\sqrt{3}$
由 $\sin \mathrm{x}=0$ 可知 $\mathrm{x}=\mathrm{k} \pi$ ；
由 $\tan x=\sqrt{3}$ 可知 $x=k \pi+\frac{\pi}{3}$ ．
故函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的零点的集合为 $\left\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}=\mathrm{k} \pi\right.$ 或 $\left.\mathrm{x}=\mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{3}, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}\right\}$
【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质 ．三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习。