（本小题满分 12 分） 如图所示，在长方体 A B C…——2010 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（12分）（2010•湖南）如图所示，在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=1, \mathrm{AA}_{1}= 2, \mathrm{M}$ 是棱 $\mathrm{CC}_{1}$ 的中点。
（I）求异面直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}$ 和 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 所成的角的正切值；
（II）证明：平面 $\mathrm{ABM} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{M}$ ．

【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】①由于 $C_{1} D_{1} \| B_{1} A_{1}$ 故根据异面直线所成角的定义可知 $\angle M A_{1} B_{1}$ 为异面直线 $A_{1} M$和 $C_{1} D_{1}$ 所成的角然后在解三角形 $M A_{1} B_{1}$ 求出 $\angle M A_{1} B_{1}$ 的正切值即可。
（II）可根据题中条件计算得出 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \perp \mathrm{BM}, ~ \mathrm{BM} \perp \mathrm{B}_{1} \mathrm{M}$ 然后再根据面面垂直的判定定理即可得证．
【解答】解：①如图，因为 $C_{1} D_{1} \| B_{1} A_{1}$ ，所以 $\angle M A_{1} B_{1}$ 为异面直线 $A_{1} M$ 和 $C_{1} D_{1}$ 所成的角 ，
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \perp$ 面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$
$\therefore \angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{M}=90^{\circ}$
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}=1, \quad \mathrm{~B}_{1} \mathrm{M}=\sqrt{2}$

$\therefore \tan \angle \mathrm{MA}_{1} \mathrm{~B}_{1}=\sqrt{2}$
即异面直线 $A_{1} M$ 和 $C_{1} D_{1}$ 所成的角的正切值为 $\sqrt{2}$ ．
（II）$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \perp$ 面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}, \quad \mathrm{BM} \subset$ 面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$
$\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \perp \mathrm{BM}$①
由①知 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{M}=\sqrt{2}, ~ \mathrm{BM}=\sqrt{2}, ~ \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~B}=2$
$\therefore \mathrm{BM} \perp \mathrm{B}_{1} \mathrm{M}②$
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \cap \mathrm{~B}_{1} \mathrm{M}=\mathrm{B}_{1}$
∴ 由①②可知 $B M \perp$ 面 $A_{1} B_{1} M$
$\because \mathrm{BMc}$ 面ABM
∴ 平面 $\mathrm{ABM} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{M}$ ．
【点评】本题主要考查异面直线所成角的定义以及面面垂直的证明，属常考题型，较难．解题的关键是要掌握异面直线所成角的定义（即将异面直线转化为相交直线所成的角）和面面垂直的判定定理。