如图，在三棱锥 P - A B C 中， A B B C，…——2023 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析； ③ $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行 判定推理作答.的

> ②由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

> ③由②的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小问 1 详解】

连接 $D E , O F$ ，设 $A F = t A C$ ，则 $\overrightarrow { B F } = \overrightarrow { B A } + \overrightarrow { A F } = ( 1 - t ) \overrightarrow { B A } + t \overrightarrow { B C }$ $\overrightarrow { A O } = - \overrightarrow { B A } + \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { B C }$ $B F \bot A O$

$$ \overrightarrow {B F} \cdot \overrightarrow {A O} = [ (1 - t) \overrightarrow {B A} + t \overrightarrow {B C} ] \cdot (- \overrightarrow {B A} + \frac {1}{2} \overrightarrow {B C}) = (t - 1) \overrightarrow {B A} ^ {2} + \frac {1}{2} t \overrightarrow {B C ^ {2}} = 4 (t - 1) + 4 t = 0 $$

解得 $t = \frac { 1 } { 2 }$ ，则F 为AC的中点，由 $D , E , O , F$ 分别为 $P B , P A , B C , A C$ 的中点，

于是 $D E / / A B , D E = \frac { 1 } { 2 } A B , O F / / A B , O F = \frac { 1 } { 2 } A B$ ，即 $D E / / O F , D E = O F$ ，则四边形ODEF 为平行四边形，

$E F / / D O , E F = D O$ ，又 $E F \neq$ 平面 $A D O , D O \subset$ 平面ADO ，

所以EF / / 平面 ADO .

由（1）可知 $E F / / O D$ ，则 $A O = { \sqrt { 6 } } , D O = { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } }$ ，得 $A D = { \sqrt { 5 } } D O = { \frac { \sqrt { 3 0 } } { 2 } }$

因此 $O D ^ { 2 } + A O ^ { 2 } = A D ^ { 2 } = { \frac { 1 5 } { 2 } }$ ，则 $O D \perp A O$ ，有 $E F \bot A O$

又 $A O \bot B F , B F \cap E F = F$ $B F , E F \subset$ 平面 $B E F$

则有 $A O \perp$ 平面 $B E F$ ，又 $A O \subset$ 平面ADO ，所以平面 $A D O \perp$ 平面 $\mathrm { B } E F$

【小问 3 详解】

过点O作 $O H / / B F$ 交 AC 于点 H ，设 $A D \cap B E = G$

由 $A O \perp B F$ ，得 $H O \bot A O$ ，且 $F H = \frac { 1 } { 3 } A H$

又由②知， $O D \perp A O$ ，则 $\angle D O H$ 为二面角D AO C- - 的平面角，

因为 D E, 分别为 $P B , P A$ 的中点，因此G 为 $\triangle P A B$ 的重心，

即有 $D G = \frac { 1 } { 3 } A D , G E = \frac { 1 } { 3 } B E$ ，又 $F H = \frac { 1 } { 3 } A H$ ，即有 $D H = { \frac { 3 } { 2 } } G F$

$\cos \angle A B D = \frac { 4 + \frac { 3 } { 2 } - \frac { 1 5 } { 2 } } { 2 \times 2 \times \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } } = \frac { 4 + 6 - P A ^ { 2 } } { 2 \times 2 \times \sqrt { 6 } }$ ，解得 $P A = { \sqrt { 1 4 } }$ ，同理得 $B E = { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } }$

于是 $B E ^ { 2 } + E F ^ { 2 } = B F ^ { 2 } = 3$ ，即有 $B E \bot E F$ ，则 $G F ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { 3 } { \times } \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } \right) ^ { 2 } = \frac { 5 } { 3 }$

从而 $G F = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 3 } , D H = \frac { 3 } { 2 } \times \frac { \sqrt { 1 5 } } { 3 } = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 }$

在 $\triangle D O H$ 中， $O H = \frac { 1 } { 2 } B F = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , O D = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } , D H = \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 }$

于是 $\cos \angle D O H = { \frac { { \frac { 6 } { 4 } } + { \frac { 3 } { 4 } } - { \frac { 1 5 } { 4 } } } { 2 \times { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } } \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } } = - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ $\sin \angle D O H = \sqrt { 1 - \left( - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

所以二面角 $D - A O - C$ 的正弦值为 $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$