## 20.（本小题满分13分） 设函数 f ( x )…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：（Ⅰ） $f ^ { \prime } { \bigl ( } x { \bigr ) } = { \frac { e ^ { x } \cdot x ^ { 2 } - 2 x e ^ { x } } { x ^ { 4 } } } - k ( - { \frac { 2 } { x ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { x } } )$

$$ = { \frac { \left( x - 2 \right) \left( e ^ { x } - k x \right) } { x ^ { 3 } } } { \left( x > 0 \right) } $$

当 k £ 0 时， $k x \le 0 , \therefore e ^ { x } - k x > 0$

令f'(x)=0，则x=2

∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减；

当x∈(2,+∞)时，f(x)单调递增.

（Ⅱ）令 $g \left( x \right) = e ^ { x } - k x$

则 $g ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } - k$

当 $k \leq 0$ 时， $g ^ { \prime } ( x ) > 0$ 恒成立， $\cdot g ( x )$ 在(0,2)上单调递增，不符合题意.

当 $k > 0$ 时

$g ^ { \prime } ( x ) = 0 , \therefore e ^ { x } = k , x = \ln k$

$$ \because g ^ { \prime } ( 0 ) = 1 - k < 0 , g { \bigl ( } 0 { \bigr ) } = 1 > 0 $$

$$ g ^ { \prime } { \left( 2 \right) } = e ^ { 2 } - k > 0 , g { \left( 2 \right) } = e ^ { 2 } - 2 k > 0 $$

$$ \therefore k < \frac { e ^ { 2 } } { 2 } $$

$$ g \big ( \ln k \big ) = e ^ { \ln k } - k \ln k < 0 $$

$$ \therefore \ln k > 1 $$

$$ \therefore k > e $$

综上：k的取值范围为 $\left( e , \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \right)$