2015_省自主命题（重庆）
10．设双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于 $^ { \mathit { B , C } }$ 两点，过B,C分
别作AC，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC的距离小于 $a + { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } }$，则该双曲线的渐近线斜率的取值
范围是
A
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】A
【解析】由题意A(a,0). $B ( c , \frac { b ^ { 2 } } { a } ) , C ( c , - \frac { b ^ { 2 } } { a } )$，由双曲线的对称性知D在x轴上，设 $D ( x , 0 )$，由 $B D \bot A C$ 得 ${ \frac { { \frac { b ^ { 2 } } { a } } - 0 } { c - x } } \cdot { \frac { \frac { b ^ { 2 } } { a } } { a - c } } = - 1$，解得 $c - x = { \frac { b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } ( c - a ) } }$，所以 $c - x = { \frac { b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } ( c - a ) } } < a + { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = a + c$，所以$\frac { b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } } < c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = b ^ { 2 } \Rightarrow \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } < 1 \Rightarrow 0 < \frac { b } { a } < 1$，因此渐近线的斜率取值范围是(-1,0)∪(0.1)，选A. 【考点定位】双曲线的性质.
【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于 $a , b , c$ 的不等式，根据已知条件和双曲线中a.b.c的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于a.b的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中 $a , b , c$ 关系的不同.