2019_江苏卷
14. 设 $f ( x ) , g ( x )$ 是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当 $x \in ( 0 , 2 ]$ 时， $f ( x ) = { \sqrt { 1 - \left( x - 1 \right) ^ { 2 } } }$ $g ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { k ( x + 2 ) , 0 < x \leq 1 } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } , 1 < x \leq 2 } } \end{array} } \right.$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f ( x ) = g ( x )$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲
$\left[ { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } \right]$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $\left[ { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } \right]$
【解析】
【分析】
分别考查函数f(x)和函数g(x)图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当x∈(0,2]时， $f ( x ) = { \sqrt { 1 - \left( x - 1 \right) ^ { 2 } } }$ ,即 $\left( x - 1 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 , y \geq 0$
又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数f(x)与g(x)的图象，要使$f ( x ) = g ( x ) \not \mathbb { E } ( 0 , 9 ]$ 上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可
当 $\mathbf { g } ( x ) = - { \frac { 1 } { 2 } }$ 时，函数f(x)与g(x)的图象有2个交点；
当g(x)= k(x +2)时，g(x)的图象为恒过点(-
2，0）的直线，只需函数f(x)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)图象相切时，圆心（1，0）到直线$k x - y + 2 k = 0$ 的距离为1，即 ${ \frac { \left| k + 2 k \right| } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } } = 1$ ，得 $k = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 }$ ，函数f(x)与g(x)的图象有3个交点；当$\operatorname { g } ( x ) = k ( x + 2 )$ 过点（1,1）时，函数f(x)与g(x)的图象有6个交点，此时1=3k，得 $k = \frac 1 3$ 综上可知，满足 $f ( x ) = g ( x )$ 在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为 $\left[ \frac { 1 } { 3 } , \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \right]$
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.