（18）（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为等腰梯形，$A B \| C D, A C \perp B D$ ，垂足为 $H, P H$ 是四棱锥的高。
（I）证明：平面 $P A C \perp$ 平面 $P B D$ ；
（II）若 $A B=\sqrt{6}, \angle A P B=\angle A D B=60^{\circ}$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积。
（18）（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P-A…——2010 高考数学第 17 题答案解析
2010_老新课标卷 (2010·文)
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【解答】
解：
（I）因为 PH 是四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 的高。
所以 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{PH}$ ，又 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{PH}, \mathrm{BD}$ 都在平面 PBD 内，且 $\mathrm{PH} \cap \mathrm{BD}=\mathrm{H}$ ．
所以 $\mathrm{AC} \perp$ 平面 PBD ．
故平面 $\mathrm{PAC} \perp$ 平面 PBD ．
（II）因为 ABCD 为等腰梯形， $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{AB}=\sqrt{6}$ ．
所以 $H A=H B=\sqrt{3}$ ．
因为 $\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{ADB}=60^{\circ}$
所以 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\sqrt{6}, \mathrm{HD}=\mathrm{HC}=1$ ．
可得 $\mathrm{PH}=\sqrt{3}$ ．
等腰梯形 ABCD 的面积为 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \mathrm{AC} \times \mathrm{BD}=2+\sqrt{3}$ ．
所以四棱锥的体积为 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{x}(2+\sqrt{3}) \mathrm{x} \sqrt{3}=\frac{3+2 \sqrt{3}}{3}$
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