已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3| ． （1）当…——2021 高考数学第 23 题答案解析

【答案】①$(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$ ．②$\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ ．

## 【解析】

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集．
（2）利用绝对值不等式化简 $f(x)>-a$ ，由此求得 $a$ 的取值范围．

**方法一**：绝对值的几何意义法

当 $a=1$ 时，$f(x)=|x-1|+|x+3|,|x-1|+|x+3|$ 表示数轴上的点到 1 和 -3 的距离之和，
则 $f(x) \geq 6$ 表示数轴上的点到 1 和 -3 的距离之和不小于 6 ，

当 $x=-4$ 或 $x=2$ 时所对应的数轴上的点到 $1,-3$ 所对应的点距离之和等于 6 ，
∴ 数轴上到 $1,-3$ 所对应的点距离之和等于大于等于 6 得到所对应的坐标的范围是 $x \leq-4$ 或 $x \geq 2$ ，

所以 $f(x) \geq 6$ 的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$ ．

**方法二**：【最优解】：零点分段求解法

当 $a=1$ 时，$f(x)=|x-1|+|x+3|$ ．
当 $x \leq-3$ 时，$(1-x)+(-x-3) \geq 6$ ，解得 $x \leq-4$ ；

当 $-3

当 $x \geq 1$ 时，$(x-1)+(x+3) \geq 6$ ，解得 $x \geq 2$ ．

综上，$|x-1|+|x+3| \geq 6$ 的解集为 $(-\infty,-4] \cup[2,+\infty)$ ．

**方法一**：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意 $f(x)>-a$ ，即 $|x-a|+|x+3|>-a$ 恒成立，
$|x-a|+|x+3|=|a-x|+|x+3| \geq|a+3|$,
当且仅当 $(a-x)(x+3) \geq 0$ 时取等号，
$\therefore f(x)_{\min }=|a+3|$ ，
故 $|a+3|>-a$ ，

所以 $a+3>-a$ 或 $a+3解得 $a>-\frac{3}{2}$ ．
所以 $a$ 的取值范围是 $\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ ．

**方法二**：【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由 $|x-a|$ 是数轴上数 $x$ 表示的点到数 $a$ 表示的点的距离，得 $f(x)=|x-a|+|x+3| \geq|a+3|$ ，故 $|a+3|>-a$ ，下同解法一．

**方法三**：分类讨论＋分段函数法

当 $a \leq-3$ 时，

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-2 x+a-3, x-3,\end{array}\right.$
则 $[f(x)]_{\text {min }}=-a-3$ ，此时 $-a-3>-a$ ，无解．

当 $a>-3$ 时，
$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-2 x+a-3, x<-3, \\ a+3,-3 \leq x \leq a, \\ 2 x-a+3, x>a,\end{array}\right.$
则 $[f(x)]_{\text {min }}=a+3$ ，此时，由 $a+3>-a$ 得，$a>-\frac{3}{2}$ ．
综上，$a$ 的取值范围为 $a>-\frac{3}{2}$ ．

**方法四**：函数图象法解不等式

由方法一求得 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$ 后，构造两个函数 $y=|a+3|$ 和 $y=-a$ ，
即 $y=\left\{\begin{array}{l}-a-3, a<-3, \\ a+3, a \geq-3\end{array}\right.$ 和 $y=-a$ ，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点 $M\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ，
由图易知 $|a+3|>-a$ ，则 $a>-\frac{3}{2}$ ．

【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为 1 的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 $f(x)_{\text {min }}=|a+3|$ ，利用不等式恒成立的意义得到关于 $a$ 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 $f(x)$ 的最小值，最有简洁快速，为最优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 $f(x)$ 最小值，要注意函数 $f(x)$ 中的各绝对值

的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数 $f(x)$ 的最小值后，构造关于 $a$ 的函数，利用数形结合思想求解关于 $a$ 的不等式．