2021 全国乙卷 · 理 数学

设 $2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6 \mathrm{i}$ ，则 $z=$

已知命题 $p: \exists x \in \mathbf{R}, \sin x<1$ ；命题 $q: \forall x \in \mathbf{R}, \mathrm{e}^{|x|} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（）

设函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ ，则下列函数中为奇函数的是

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为（）

将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）

把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像，则 $f(x)=$

在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取 1 个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（ ）

魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $E$ ， $H, G$ 在水平线 $A C$ 上，$D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为＂表高＂，$E G$ 称为＂表距＂，$G C$ 和 $E H$ 都称为＂表目距＂，$G C$ 与 $E H$ 的差称为＂表目距的差＂则海岛的高 $A B=()$

设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则（ ）

设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）

设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$ ．则 ()

已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ ，则 $C$ 的焦距为 $\_\_\_\_$ ．

已知向量 $\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $\lambda=$

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $\sqrt{3}, B=60^{\circ}, a^{2}+c^{2}=3 a c$ ，则 $b=$

以图（1）为正视图，在图（2）（3）（4）（5）中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 $\_\_\_\_$ （写出符合要求的一组答案即可）。

图（1）

图（2）

图（3）

图（4）

图（5）

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ ．
（1）求 $\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\bar{y}-\bar{x} \geq 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）。

如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面是矩形，$P D \perp$ 底面 $A B C D, P D=D C=1, M$ 为 $B C$ 的中点，且 $P B \perp A M$ ．

（1）求 $B C$ ；
（2）求二面角 $A-P M-B$ 的正弦值．

记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}$ 为数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$ ．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．

（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．

已知抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的距离的最小值为 4 ．
（1）求 $p$ ；
（2）若点 $P$ 在 $M$ 上，$P A, P B$ 是 $C$ 的两条切线，$A, B$ 是切点，求 $\triangle P A B$ 面积的最大值．

在直角坐标系 $x O y$ 中，$\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ ，半径为 1 ．
（1）写出 $\odot C$ 的一个参数方程；

（2）过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集；
（2）若 $f(x)>-a$ ，求 $a$ 的取值范围．