2015_上海卷 (2015·理)
19、（本题满分12分）如图，在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AA}_{1}=1, \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=2$
， $\mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 分别是 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$ 的中点．证明 $\mathrm{A}_{1} , \mathrm{C}_{1} , \mathrm{~F} , \mathrm{E}$ 四点共面，并求直线 $\mathrm{CD}_{1}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{FE}$ 所成的角的大小．
【答案】 $\arcsin \frac{\sqrt{15}}{15}$
【解析】解：如图，以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 $\mathrm{A}_{1}(2,0,1) , \mathrm{C}_{1}(0,2,1)$ 、 $E(2,1,0) , F(1,2,0) , C(0,2,0) , D_{1}(0,0,1)$.
因为 $\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}}=(-2,2,0), \overrightarrow{\mathrm{EF}}=(-1,1,0)$ ，
所以 $\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}} / / \overrightarrow{\mathrm{EF}}$ ，因此直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 与 EF 共面，
即 $A_{1} , C_{1} , F , E$ 共面。
设平面 $A_{1} C_{1} E F$ 的法向量为 $\vec{n}=(u, y, w)$ ，则 $\vec{n} \perp \overrightarrow{\mathrm{EF}}, \vec{n} \perp \overrightarrow{\mathrm{FC}_{1}}$ ，
又 $\overrightarrow{\mathrm{EF}}=(-1,1,0), \quad \overrightarrow{\mathrm{FC}_{1}}=(-1,0,1)$ ，
故 $\left\{\begin{array}{l}-u+v=0 \\ -u+w=0\end{array}\right.$ ，解得 $u=v=w$ ．
取 $u=1$ ，得平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{FE}$ 的一个法向量 $\vec{n}=(1,1,1)$ ．又 $\overrightarrow{\mathrm{CD}_{1}}=(0,-2,1)$ ，
故 $\frac{\overline{\mathrm{CD}_{1}} \cdot \vec{n}}{\left|\overline{\mathrm{CD}_{1}}\right||\vec{n}|}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ ．
因此直线 $C D_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} F E$ 所成的角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{15}}{15}$ ．
【考点定位】空间向量求线面角