2015 上海卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1、设全集 $\mathrm{U}=\mathrm{R}$ ．若集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{B}=\{x \mid 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \bigoplus_{\mathrm{U}} \mathrm{B}=$ $\_\_\_\_$

2、若复数 $z$ 满足 $3 z+\bar{z}=1+i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z=$ $\_\_\_\_$ ． 【答．案】 $\frac{1}{4}+\frac{1}{2} i$

3、若线性方程组的增广矩阵为 $\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & c_{1} \\ 0 & 1 & c_{2}\end{array}\right)$ 、解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=5\end{array}\right.$ ，则 $c_{1}-c_{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

4、若正三棱柱的所有棱长均为 $a$ ，且其体积为 $16 \sqrt{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

5、抛物线 $y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 $p=$ $\_\_\_\_$。

6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 \pi$ ，则其母线与轴的夹角的大小为 $\_\_\_\_$

7、 方程 $\log _{2}\left(9^{x-1}-5\right)=\log _{2}\left(3^{x-1}-2\right)+2$ 的解为 $\_\_\_\_$．

8、在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

9、已知点 P 和 Q 的横坐标相同， P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍， P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ ．若 $\mathrm{C}_{1}$ 的渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{3} x$ ，则 $\mathrm{C}_{2}$ 的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

10、设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=2^{x-2}+\frac{x}{2}, x \in[0,2]$ 的反函数，则 $y=f(x)+f^{-1}(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

11、在 $\left(1+x+\frac{1}{x^{2015}}\right)^{10}$ 的展开式中，$x^{2}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ （结果用数值表示）。

12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 $1,2,3,4,5$ 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）。若随机变量 $\xi_{1}$和 $\xi_{2}$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $\mathrm{E} \xi_{1}-\mathrm{E} \xi_{2}=$ $\_\_\_\_$ （元）．

13、已知函数 $f(x)=\sin x$ ．若存在 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$ 满足 $0 \leq x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m} \leq 6 \pi$ ，且 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|+\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{3}\right)\right|+\cdots+\left|f\left(x_{n-1}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|=12 \quad\left(m \geq 2, \quad m \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ，则 $m$ 的最小值 为 $\_\_\_\_$ ．

14、在锐角三角形 ABC 中， $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{2}, \mathrm{D}$ 为边 BC 上的点，$\triangle \mathrm{ABD}$ 与 $\triangle \mathrm{ACD}$ 的面积分别为 2 和 4 。过 D 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{DF} \perp \mathrm{AC}$ 于 F ，则 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}=$ $\_\_\_\_$ ．

15、设 $z_{1}, z_{2} \in \mathrm{C}$ ，则＂$z_{1} , z_{2}$ 中至少有一个数是虚数＂是＂$z_{1}-z_{2}$ 是虚数＂的（）

16、已知点 A 的坐标为 $(4 \sqrt{3}, 1)$ ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 $\frac{\pi}{3}$ 至 OB ，则点 B 的纵坐标为（ ）

17、记方程（1）：$x^{2}+a_{1} x+1=0$ ，方程（2）：$x^{2}+a_{2} x+2=0$ ，方程（3）：$x^{2}+a_{3} x+4=0$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 是正实数．当 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列时，下列选项中，能推出方程 （3）无实根的是

18、设 $\mathrm{P}_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ 是直线 $2 x-y=\frac{n}{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限的交点，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n}-1}{x_{n}-1}=$

19、（本题满分12分）如图，在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AA}_{1}=1, \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=2$ ， $\mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 分别是 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$ 的中点．证明 $\mathrm{A}_{1} , \mathrm{C}_{1} , \mathrm{~F} , \mathrm{E}$ 四点共面，并求直线 $\mathrm{CD}_{1}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{FE}$ 所成的角的大小． 

20、（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三地有直道相通， $\mathrm{AB}=5$ 千米， $\mathrm{AC}=3$ 千米， $\mathrm{BC}=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米／小时．乙到达 B 地后原地等待。设 $t=t_{1}$ 时乙到达 C 地。 。 （1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, 1\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．

21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分． 已知椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 和 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ ，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 $S$ ． ①设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{C}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，用 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 的坐标表示点 C 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S=2\left|x_{1} y_{1}-x_{2} y_{1}\right| ;$ ②设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值．

22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题．第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分。 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(b_{n+1}-b_{n}\right), n \in \mathrm{~N}^{*}$． （1）若 $b_{n}=3 n+5$，且 $a_{1}=1$，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； ②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项，即 $a_{n_{0}}>a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，求证：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项； （3）设 $a_{1}=\lambda<0, b_{n}=\lambda^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，求 $\lambda$ 的取值范围，使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 有最大值 M 与最小值 $m$，且 $\frac{\mathrm{M}}{m} \in(-2,2)$．

23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分． 对于定义域为 R 的函数 $g(x)$，若存在正常数 T，使得 $\cos g(x)$ 是以 T 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期。已知 $f(x)$ 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=0, f(\mathrm{~T})=4 \pi$． （1）验证 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 是以 $6 \pi$ 为周期的余弦周期函数； ②设 $a<b$．证明对任意 $c \in[f(a), f(b)]$，存在 $x_{0} \in[a, b]$，使得 $f\left(x_{0}\right)=c$； （3）证明：＂$u_{0}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[0, \mathrm{~T}]$ 上得解＂的充要条件是＂$u_{0}+\mathrm{T}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上有解＂，并证明对任意 $x \in[0, \mathrm{~T}]$ 都有 $f(x+\mathrm{T})=f(x)+f(\mathrm{~T})$．