（5分）在长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2018 高考数学第 9 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值．

【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
∵ 在长方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1$ ，
$\mathrm{AA}_{1}=\sqrt{3}$,
$\therefore \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{D}_{1}(0,0, \sqrt{3}), \mathrm{D}(0,0,0)$ ，
$B_{1}(1,1, \sqrt{3})$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AD}_{1}}=(-1,0, \sqrt{3}), \overrightarrow{\mathrm{DB}_{1}}=(1,1, \sqrt{3})$ ，
设异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角为 $\theta$ ，
则 $\cos \theta=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}_{1}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{DB}_{1}}\right|}=\frac{2}{2 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
∴ 异面直线 $\mathrm{AD}_{1}$ 与 $\mathrm{DB}_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
故选：C．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．