（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数…——2014 高考数学第 24 题答案解析

【答案】（I）$M=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\right.\right\}$ ；（II）识见解析

## 【解析】

试题分析：（I）由所给的不等式可得当 $x \geq 1$ 时，由 $f(x)=3 x-3 \leq 1$ ，或当 $x<1$ 时，由 $f(x)=1-x \leq 1$ ，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（II）$g(x) \leq 4$ ，水得 $N$ ，可得 $M \cap N=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$ ．当 $x \in M \cap N$ 时，$f(x)=1-x$ ，不等式的左沈么为 $\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$ ，开点已小于或等于 $\frac{1}{4}$ ，要证的不等式得证。
试题解析：（I）$f(x)= \begin{cases}3 x-3, & x \in[1,+\infty) \\ 1-x, & x \in(-\infty, 1)\end{cases}$
当 $x \geq 1$ 时，由 $f(x)=3 x-3 \leq 1$ 得 $x \leq \frac{4}{3}$ ，故 $1 \leq x \leq \frac{4}{3}$ ；
当 $x<1$ 时，由 $f(x)=1-x \leq 1$ 得 $x \geq 0$ ，故 $0 \leq x<1$ ；
所以 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $M=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\right.\right\}$ ．
（II）由 $g(x)=16 x^{2}-8 x+1 \leq 4$ 得 $16\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2} \leq 4$ ，解得 $-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}$ ，因此 $N=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$ ，故 $M \cap N=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$.

当 $x \in M \cap N$ 时，$f(x)=1-x$ ，于是

$$ \begin{aligned} & x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2}=x f(x)[x+f(x)] \\ & =x f(x)=x(1-x)=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq \frac{1}{4} \end{aligned} $$

考点：1．其他不等式的解法；2．交集及其运算。