（12分）（2008 •陕西）已知函数 f ( x )=2…——2008 高考数学第 17 题答案解析

【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \sin \frac{\mathrm{x}}{4} \cdot \cos \frac{\mathrm{x}}{4}+\sqrt{3} \cos \frac{\mathrm{x}}{2}$ ，为 $\mathrm{y}=2 \sin \left(\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$
（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（2）求出 $g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的表达式，$g(x)=2 \cos \frac{x}{2}$ 。然后判断出奇偶性即可。
【解答】解：（1）$\because f(x)=\sin \frac{x}{2}+\sqrt{3} \cos \frac{x}{2}=2 \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$ ， $\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4 \pi$ ．
当 $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-1$ 时，$f(x)$ 取得最小值 -2 ；
当 $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1$ 时，$f(x)$ 取得最大值 2 ．
②$g(x)$ 是偶函数．理由如下：
由（1）知 $f(x)=2 \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$ ，
又 $g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，
$\therefore g(x)=2 \sin \left[\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}\right]$
$=2 \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=2 \cos \frac{x}{2}$ ．
$\because \mathrm{g}(-\mathrm{x})=2 \cos \left(-\frac{\mathrm{x}}{2}\right)=2 \cos \frac{\mathrm{x}}{2}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ ，
∴ 函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 是偶函数．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，常考题型．