2018_江苏卷 (2018)
17．（本小题满分 14 分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $M P N ~(P$ 为此圆弧的中点 ）和线段 $M N$ 构成．已知圆 $O$ 的半径为 40 米，点 $P$ 到 $M N$ 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I 内的地块形状为矩形ABCD，大棚 II 内的地块形状为 $\triangle C D P$ ，要求 $A, B$ 均在线段 $M N$ 上，$C, D$ 均在圆弧上．设 $O C$与 $M N$ 所成的角为 $\theta$ ．
（1）用 $\theta$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $\triangle C D P$ 的面积，并确定 $\sin \theta$
（第17题）
的取值范围；
（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4: 3$ ．求当 $\theta$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解答】
本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建
模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分 $\mathbf{1 4}$ 分．
解：（1）连结 $P O$ 并延长交 $M N$ 于 $H$ ，则 $P H \perp M N$ ，所以 $O H=10$ ．
过 $O$ 作 $O E \perp B C$ 于 $E$ ，则 $O E / / M N$ ，所以 $\angle C O E=\vartheta$ ，
故 $O E=40 \cos \vartheta, E C=40 \sin \vartheta$ ，
则矩形 $A B C D$ 的面积为 $2 \times 40 \cos \vartheta(40 \sin \vartheta+10)=800(4 \sin \vartheta \cos \vartheta+\cos \vartheta)$ ，
（第17题）
$\triangle C D P$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 40 \cos \vartheta(40-40 \sin \vartheta)=1600(\cos \vartheta-\sin \vartheta \cos \vartheta)$ ．
过 $N$ 作 $G N \perp M N$ ，分别交圆弧和 $O E$ 的延长线于 $G$ 和 $K$ ，则 $G K=K N=10$ ．
令 $\angle G O K=\vartheta_{0}$ ，则 $\sin \vartheta_{0}=\frac{1}{4}, \vartheta_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ ．
当 $\vartheta \in\left[\vartheta_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，才能作出满足条件的矩形 $A B C D$ ，
所以 $\sin \vartheta$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4}, 1\right)$ ．
答：矩形 $A B C D$ 的面积为 800 （ $4 \sin \vartheta \cos \vartheta+\cos \vartheta$ ）平方米，$\triangle C D P$ 的面积为
$1600(\cos \vartheta-\sin \vartheta \cos \vartheta), \sin \vartheta$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4}, 1\right)$ ．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4: 3$ ，
设甲的单位面积的年产值为 $4 k$ ，乙的单位面积的年产值为 $3 k(k>0)$ ，
则年总产值为 $4 k \times 800(4 \sin \vartheta \cos \vartheta+\cos \vartheta)+3 k \times 1600(\cos \vartheta-\sin \vartheta \cos \vartheta)$
$=8000 k(\sin \vartheta \cos \vartheta+\cos \vartheta), \vartheta \in\left[\vartheta_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$.
设 $f(\vartheta)=\sin \vartheta \cos \vartheta+\cos \vartheta, \vartheta \in\left[\vartheta_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
则 $f^{\prime}(\theta)=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta-\sin \theta=-\left(2 \sin ^{2} \theta+\sin \theta-1\right)=-(2 \sin \theta-1)(\sin \theta+1)$ ．
令 $f^{\prime}(\theta)=0$ ，得 $\vartheta=\frac{\pi}{6}$ ，
当 $\vartheta \in\left(\vartheta_{0}, \frac{\pi}{6}\right)$ 时，$f^{\prime}(\theta)>0$ ，所以 $f(\vartheta)$ 为增函数；
当 $\vartheta \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(\theta)<0$ ，所以 $f(\vartheta)$ 为减函数，
因此，当 $\vartheta=\frac{\pi}{6}$ 时，$f(\vartheta)$ 取到最大值．
答：当 $\vartheta=\frac{\pi}{6}$ 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．