17．（本小题满分 14 分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $M P N ~(P$ 为此圆弧的中点 ）和线段 $M N$ 构成．已知圆 $O$ 的半径为 40 米，点 $P$ 到 $M N$ 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I 内的地块形状为矩形ABCD，大棚 II 内的地块形状为 $\triangle C D P$ ，要求 $A, B$ 均在线段 $M N$ 上，$C, D$ 均在圆弧上．设 $O C$与 $M N$ 所成的角为 $\theta$ ．
（1）用 $\theta$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $\triangle C D P$ 的面积，并确定 $\sin \theta$
（第17题）
的取值范围；
（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚 II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4: 3$ ．求当 $\theta$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
参考答案
(1) 矩形 $A B C D$ 的面积为 800 （ $4 \sin \vartheta \cos \vartheta+\cos \vartheta$ ）平方米，$\triangle C D P$ 的面积为 $1600(\cos \vartheta-\sin \vartheta \cos \vartheta), \sin \vartheta$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4}, 1\right)$ ．; (2) 当 $\vartheta=\frac{\pi}{6}$ 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．