（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，…——2016 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 $\operatorname { \mathrm { : x O y } } ^ { }$ 中，F是椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0$ ）的右焦点，直线 $\mathbf { y } { = } \frac { \mathbf { b } } { 2 }$ 与椭圆交于B，C两点，且 $\angle \mathrm { B F C } { = } 9 0 ^ { \circ }$ ，则该椭圆的离心率是 $- \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } -$

【分析】设右焦点F（c，0），将 $\mathbf { y } { = } \frac { \mathbf { b } } { 2 }$ 代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值

【解答】解：设右焦点F（c，0），

将 $\mathbf { y } { = } \frac { \mathbf { b } } { 2 }$ 代入椭圆方程可得 $\cdot \mathtt { x } = \pm \mathtt { a } \sqrt { 1 - \frac { \mathtt { b } ^ { 2 } } { \mathtt { 4 b } ^ { 2 } } } \mathtt { = } \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathtt { a }$

可得 $\textbf { B } ( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } a , \ \frac { \mathtt { b } } { 2 } )$ ，C $( { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \mathrm { a } , ~ { \frac { \mathrm { b } } { 2 } } )$

由 $\angle \mathrm { B F C } { = } 9 0 ^ { \circ }$ ，可得 $\mathrm { k _ { B F } } { \bullet } \mathrm { k _ { C F } } { = } - \ 1$

即有 $\frac { \frac { b } { 2 } } { - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \bar { a } - c } \bullet \frac { \frac { b } { 2 } } { \sqrt { 3 } \bar { a } - c } = 1$

化简为 $\vert { \bf b } ^ { 2 } { = } 3 { \bf a } ^ { 2 } - 4 { \bf c } ^ { 2 }$

由 $\mathsf { b } ^ { 2 } \mathrm { = a } ^ { 2 } \mathrm { - \Delta c } ^ { 2 }$ ，即有 $3 \mathrm { c } ^ { 2 } { = } 2 \mathrm { a } ^ { 2 }$

由 $J e = \frac { c } { a }$ ，可得 $e ^ { 2 } = \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 3 }$ 可得 $\mathrm { e } { = } \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ 故答案为： $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题