（15）设 x^ 3 +a x+b=0，其中 a, b 均…——2015 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①③④⑤
【解析】令 $f(x)=x^{3}+a x+b$ ，求导得 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a$ ，当 $a \geq 0$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ ，所以 $f(x)$ 单调递增，且至少存在一个数使 $f(x)<0$ ，至少存在一个数使 $f(x)>0$ ，所以 $f(x)=x^{3}+a x+b$ 必有一个零点，即方程 $x^{3}+a x+b=0$ 仅有一根，故④⑤正确；当 $a<0$ 时，若 $a=-3$ ，则 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$ ，易知，$f(x)$ 在 $(-\infty,-1),(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $[-1,1]$ 上单调迷减，所以 $f(x)_{\text {唒大 }}=f(-1)=-1+3+b=b+2$ ， $f(x)_{\text {极 }}=f(1)=1-3+b=b-2$ ，要使方程仅有一根，则 $f(x)_{\text {标大 }}=f(-1)=-1+3+b=b+2<0$ 或者 $f(x)_{\text {极 }}=f(1)=1-3+b=b-2>0$ ，解得 $b<-2$ 或 $b>2$ ，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤．

【考点定位】 1 函数零点与方程的根之间的关系；2．函数的单调性及其极值．
【名师点睛】高考中若出现方程问题，通常情况下一定要考虑其对应的函数，了解函数的大致图象特征，便于去分析方程；若出现的是高次函数或非基本初等函数，要利用导数这一工具进行分析其单调性、极值与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理．

三．