（14分）已知A，B，C是椭圆W： x ^ 2 4 + y…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（I）根据 B 的坐标为（2，0）且 AC 是 OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C 两点的坐标，从而得到线段AC的长等于 ${ \sqrt { 3 } } .$ ．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；

（II）若四边形OABC 为菱形，根据 $\left| { \mathsf { O A } } \right| = \left| { \mathsf { O C } } \right|$ 与椭圆的方程联解，算出 A、C 的

横坐标满足 $\frac { 3 x ^ { 2 } } { 4 } = r ^ { 2 } - 1$ ，从而得到 A、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形

【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）

$\therefore$ 直线AC是BO 的垂直平分线，可得AC方程为x=1

$$ \frac { 1 ^ { 2 } } { 4 } + t ^ { 2 } = 1 $$

$$ \mathrm { t } { = } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $$

∴A的坐标为（1， $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$ ），同理可得C的坐标为（1， $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } )$

$$ \left| \mathsf { A C } \right| = \sqrt { 3 } , $$

$$ { \mathsf { S } } { = } { \frac { 1 } { 2 } } { \big | } { \mathsf { A C } } { \big | } \bullet { \big | } { \mathsf { B O } } { \big | } { = } { \sqrt { 3 } } { \mathrm { ; } } $$

（II）∵四边形 OABC 为菱形， $\therefore \left| 0 \mathsf { A } \right| = \left| 0 \mathsf { C } \right|$

$$ \left| 0 \mathsf { A } \right| = \left| 0 \mathsf { C } \right| = \mathsf { r } ( \mathsf { r } > 1 ) $$

$$ \frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1 $$

$$ \mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { y } ^ { 2 } = \mathsf { r } ^ { 2 } $$

$$ \scriptstyle { \frac { 3 \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } } = \mathbf { r } ^ { 2 } - 1 $$

$$ \mathsf { x } _ { 1 } , ~ \mathsf { x } _ { 2 } $$

$$ \mathsf { x } _ { 1 } = \mathsf { x } _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \bullet \sqrt { \mathsf { r } ^ { 2 } - 1 } $$

$$ \mathsf { x } _ { 1 } \mathrm { = } \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \bullet \sqrt { \mathsf { r } ^ { 2 } - 1 } $$

$$ \mathsf { x } _ { 2 } \mathsf { = - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \bullet } \sqrt { \mathsf { r } ^ { 2 } \mathsf { - 1 } } $$

①当 $\mathsf { x } _ { 1 } = \mathsf { x } _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \bullet \sqrt { \mathsf { r } ^ { 2 } - 1 }$ 时，可得若四边形 OABC 为菱形，则 B 点必定是右顶点（2，0）；

②若 $\mathsf { x } _ { 1 } \mathsf { = } \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \bullet \sqrt { \mathsf { r } ^ { 2 } - 1 }$ 且 $\mathsf { x } _ { 2 } \mathsf { = - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \bullet } \sqrt { \mathsf { r } ^ { 2 } \mathsf { - 1 } }$ ，则 ${ \sf x } _ { 1 } + { \sf x } _ { 2 } = 0$

可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC

综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形

【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点 O 为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何

性质等知识，属于中档题