【答案】(Ⅰ) $\operatorname { f } ( x ) = 2 \sin { x }$ $x = k p + \frac { p } { 2 } ( \mathbf { k } \hat { \textbf { l } } Z )$ ；(Ⅱ)（1）. $( - { \sqrt { 5 } } , { \sqrt { 5 } } )$ ；（2）详见解析【解析】解法一：(1)将 $g ( x ) = \cos x$ 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到$\mathtt { y } = 2 \mathtt { c o s } x$ 的图像，再将 $\mathtt { y } = 2 \mathtt { c o s } x$ 的图像向右平移 $\frac { \pi } { 2 }$ 个单位长度后得到 $\mathrm { y } = 2 \cos ( x - \frac { \pi } { 2 } )$ 的图像，故$\operatorname { f } ( x ) = 2 \sin x$ ，从而函数 $\operatorname { f } ( x ) = 2 \sin x$ 图像的对称轴方程为 $x = k \pi + \frac { \pi } { 2 } ( \mathbf { k } \in Z )$
$\mathbf { f } ( x ) + \mathbf { g } ( x ) = 2 \sin x + \cos x = { \sqrt { 5 } } ( { \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } } \sin x + { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \cos x )$
${ \bf \sqrt { 5 } } \sin ( x + \varphi )$ (其中 $\sin \varphi = \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } , \cos \varphi = \frac { 2 } { \sqrt { 5 } } )$
依题意， $\sin ( x + \varphi ) = \frac { m } { \sqrt { 5 } }$ 在区间[0.2π)内有两个不同的解α：β当且仅当 $\vert \frac { m } { \sqrt { 5 } } \vert < 1$ ，故m的取值范围是$( - \sqrt { 5 } , \sqrt { 5 } )$
2)因为 $\alpha , \beta$ 是方程 $\sqrt { 5 } \sin ( x + \varphi ) = 0$ 在区间[0.2π)内有两个不同的解，
所以 $\sin ( \alpha + \varphi ) = \frac { m } { \sqrt { 5 } } , \sin ( \beta + \varphi ) = \frac { m } { \sqrt { 5 } }$
当 $1 \leq \mathrm { m } < \sqrt { \bar { \xi } }$ 时， $\alpha + \beta = 2 ( \frac { \pi } { 2 } - \varphi ) , \alpha - \beta = \pi - 2 ( \beta + \varphi ) ;$
当 $- \sqrt { 5 } < m < 1$ 时： $\alpha + \beta = 2 ( \frac { 3 \pi } { 2 } - \varphi ) , \alpha - \beta = 3 \pi - 2 ( \beta + \varphi ) ;$
$$
\cos ( \alpha - \beta ) = - \cos 2 ( \beta + \varphi ) = 2 \sin ^ { 2 } ( \beta + \varphi ) - 1 = 2 ( \frac { m } { \sqrt { 5 } } ) ^ { 2 } - 1 = \frac { 2 m ^ { 2 } } { 5 } - 1 .
$$
解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一
2) 因为α.β是方程 $\sqrt { 5 } \sin ( x + \varphi ) = 0$ 在区间[0.2π)内有两个不同的解，
所以 $\sin ( \alpha + \varphi ) = \frac { m } { \sqrt { 5 } } , \sin ( \beta + \varphi ) = \frac { m } { \sqrt { 5 } }$
当 $1 \leq \mathrm { m } < \sqrt { 5 }$ 时， $\alpha + \beta { = } 2 ( \frac { \pi } { 2 } - \varphi )$ 即 $\alpha ^ { + } \varphi = \pi - ( \beta + \varphi )$
当 $- \sqrt { 5 } < m < 1$ 时： $\alpha + \beta = 2 ( \frac { 3 \pi } { 2 } - \varphi )$ 即 $\alpha + \varphi = 3 \pi - ( \beta + \varphi )$
所以 $\cos ( \alpha + \varphi ) = - \cos ( \beta + \varphi )$
$$
\begin{array} { l } { { \displaystyle \frac { \Xi } { \iota \varepsilon } \cos \bigl ( \alpha - \beta \bigr ) = \cos \bigl [ \bigl ( \alpha + \varphi \bigr ) - \bigl ( \beta + \varphi \bigr ) \bigr ] = \cos \bigl ( \alpha + \varphi \bigr ) \cos \bigl ( \beta + \varphi \bigr ) + \sin \bigl ( \alpha + \varphi \bigr ) \sin \bigl ( \beta + \varphi \bigr ) } } \\ { { \mathrm { } } } \\ { { \mathrm { } = - \cos ^ { 2 } \bigl ( \beta + \varphi \bigr ) + \sin \bigl ( \alpha + \varphi \bigr ) \sin \bigl ( \beta + \varphi \bigr ) = - \bigl [ 1 - \bigl ( \displaystyle \frac { m } { \sqrt { \xi } } \bigr ) ^ { 2 } \bigr ] + \bigl ( \displaystyle \frac { m } { \sqrt { \xi } } \bigr ) ^ { 2 } = \displaystyle \frac { 2 m ^ { 2 } } { 5 } - 1 . } } \end{array}
$$
【考点定位】1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式
【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点 的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：G$\overrightarrow { G A } \cdot \overrightarrow { G B } < 0 \Leftrightarrow$ 点 在圆内；G $\overrightarrow { G A } \cdot \overrightarrow { G B } > 0 \Leftrightarrow$ 点 在圆外；G ${ \overrightarrow { G A } } \cdot { \overrightarrow { G B } } = 0 \Leftrightarrow$ 点 在圆上，本题综合性较G高，较好地考查分析问题解决问题的能力