（18）（本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（12分）（2012 • 山东）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形， $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ ， $\angle \mathrm{DAB}=60^{\circ}, \mathrm{FC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{CB}=\mathrm{CD}=\mathrm{CF}$ ．
（I）求证： $\mathrm{BD} \perp$ 平面 AED ；
（II）求二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的余弦值。

考点 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、
：平行关系；二面角的平面角及求法。
专题 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．
：
分析（I）由题意及图可得，先由条件证得 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ 及 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BD}$ ，再由线面垂直的判定定 ：理即可证得线面垂直；
（II）解法一：由（I）知， $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ ，可得出 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ，结合 $\mathrm{FC} \perp$ 平面 ABCD ，知 CA ， $\mathrm{CA}, \mathrm{CF}$ 两两垂直，因此可以 C 为坐标原点，分别以 $\mathrm{CA}, \mathrm{CB}, \mathrm{CF}$ 所在的直线为 X轴， Y 轴， Z 轴建立如图的空间直角坐标系，设 $\mathrm{CB}=1$ ，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，由公式求出二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的余弦值即可；
解法二：取 BD 的中点 G ，连接 $\mathrm{CG}, \mathrm{FG}$ ，由于
$\mathrm{CB}=\mathrm{CD}$ ，因此 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{BD}$ ，又 $\mathrm{FC} \perp$ 平面 ABCD ， $\mathrm{BD} \subset$ 平面 ABCD ，可证明出 $\angle \mathrm{FGC}$ 为二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的平面角，再解三角形求出二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的余弦值。
解答（I）证明：因为四边形 ABCD 是等腰梯形， $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \angle \mathrm{DAB}=60^{\circ}$ ．所以 $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BC}$ ： $\mathrm{D}=120^{\circ}$ ．又 $\mathrm{CB}=\mathrm{CD}$ ，

所以 $\angle \mathrm{CDB}=30^{\circ}$ ，因此，$\angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ ，
又 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BD}$ 且， $\mathrm{AE} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{A}, \mathrm{AE}, \mathrm{AD} \subset$ 平面 AED ，
所以 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 AED ；
（II）解法一：由（I）知， $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ ，同理 $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$ ，
又 $\mathrm{FC} \perp$ 平面 ABCD ，因此 $\mathrm{CA}, \mathrm{CB}, \mathrm{CF}$ 两两垂直，以 C 为坐标原点，分别以 $\mathrm{CA}, \mathrm{CB}$ ， CF 所在的直线为 X 轴， Y 轴， Z 轴建立如图的空间直角坐标系，
不妨设 $\mathrm{CB}=1$ ，则 $\mathrm{C}(0,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{D}\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 0\right), \mathrm{F}(0,0,1$ ），因此 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}, 0\right), \overrightarrow{\mathrm{BF}}=(0,-1,1)$

设平面 BDF 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{I}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{I}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{BF}}=0, \overrightarrow{\mathrm{I}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{BD}}=0$
所以 $\mathrm{x}=\sqrt{3} \mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{z}$ ，取 $\mathrm{z}=1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\sqrt{3}, 1,1)$ ，
由于 $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=(0,0,1)$ 是平面 BDC 的一个法向量，
则 $\cos <\overrightarrow{\mathrm{I}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}}{|\overrightarrow{\mathrm{CF}}||\overrightarrow{\mathrm{m}}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，所以二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

解法二：取 BD 的中点 G ，连接 $\mathrm{CG}, \mathrm{FG}$ ，由于
$\mathrm{CB}=\mathrm{CD}$ ，因此 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{BD}$ ，又 $\mathrm{FC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BD} \subset$ 平面 ABCD ，
所以 $\mathrm{FC} \perp \mathrm{BD}$ ，由于 $\mathrm{FC} \cap \mathrm{CG}=\mathrm{C}, \mathrm{FC}, \mathrm{CG} \subset$ 平面 FCG ．
所以 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 FCG ．故 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{FG}$ ，所以 $\angle \mathrm{FGC}$ 为二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的平面角，在等腰三角形 BCD 中，由于 $\angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}$ ，
因此 $\mathrm{CG}=\frac{1}{2} \mathrm{CB}$ ，又 $\mathrm{CB}=\mathrm{CF}$ ，
所以 $\mathrm{GF}=\sqrt{\mathrm{CG}^{2}+\mathrm{CF}^{2}}=\sqrt{5} \mathrm{CG}$ ，
故 $\cos \angle \mathrm{FGC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，
所以二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法，解题的关键是熟练掌握线面垂 ：直的判定定理及二面角的两种求法－向量法与几何法，本题是高中数学的典型题，也是高考中的热点题型，尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的