2014_退役省自主命题 (2014·理)
17．（本小题 13 分，（I）小问 5 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 $\pi$．
（I）求 $\omega$ 和 $\varphi$ 的值；
（II）若 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}\right)$，求 $\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的值．
【答案】（I）$\omega=2, \varphi=-\frac{\pi}{6}$
（II）$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$
## 【解析】
试题分析：（I）由函数图像上相邻两个最高点的距离为 $\pi$ 求出周期，再利用公式 $T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$ 求出 $\omega$ 的值；
由函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，可得
$\omega \frac{\pi}{3}+\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in z$，然后结合 $-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}$，求出的值．
（II）由（I）知 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$，由 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}\right) \Rightarrow \sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}$
结合 $\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}$ 利用同角三角函数的基本关系可求得 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值，因为 $\alpha=\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}$
可由两角和与差的三角函数公式求出 $\sin \alpha$ 从而用诱导公式求得 $\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)$ 的值．
## 试题解析：
解：（I）因 $f(x)$ 的图象上相邻两个最高点的距离为 $\pi$，所以 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\pi$，从而 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=2$．
又因 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{3}$ 对称，所以
$2 \cdot \frac{\pi}{3}+\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$，因 $-\frac{\pi}{2} \leq \varphi<\frac{\pi}{2}$ 得 $k=0$
所以 $\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$．
（II）由（I）得 $f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{3} \sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}$
所以 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{4}$．
由 $\frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{2 \pi}{3}$ 得 $0<\alpha-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}$，
所以 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$．
因此 $\cos \left(\alpha+\frac{3 \pi}{2}\right)=\sin \alpha=\sin \left[\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6}+\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) \sin \frac{\pi}{6}$
$=\frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$
考点：1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质。