（5分）三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线 A $\mathrm{B}_{1}$ 与 $\mathrm{BC}_{1}$ 所成角的余弦值即可

【解答】解：如图，设 $\overrightarrow{\mathrm{AA}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，棱长均为1，
则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}, \overrightarrow{\mathrm{~b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=\frac{1}{2}$
$\because \overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}_{1}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}})=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}-\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}^{+}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}^{2}$
$=\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a}^{2}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c}^{2}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}+1=1$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}\right|=\sqrt{(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}})^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$
$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}_{1}}\right|=\sqrt{(\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{c}})^{2}}=\sqrt{1+1+1-1-1+1}=\sqrt{2}$
$\therefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}_{1}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}_{1}}\right| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}=\frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$
∴ 异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量

三．