（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-A B C D…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分 13 分。

（I）证明：连接 $\mathrm{BD}, \mathrm{MO}$ ，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD的中点，又 M 为 PD 的中点，所以 $\mathrm{PB} / / \mathrm{MO}$ 。因为 $P B \not \subset$ 平面 $\mathrm{ACM}, M O \subset$ 平面 ACM ，所以 $\mathrm{PB} / /$ 平面 ACM 。
（II）证明：因为 $\angle A D C=45^{\circ}$ ，且 $\mathrm{AD}=\mathrm{AC}=1$ ，
所以 $\angle D A C=90^{\circ}$ ，即 $A D \perp A C$ ，又 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, A D \subset$ 平面 ABCD ，
所以 $P O \perp A D$ ，而 $A C \cap P O=O$ ，所以 $A D \perp$ 平面 PAC 。
（III）解：取DO中点 N ，连接 $\mathrm{MN}, A N$ ，因为 M 为 PD 的中点，所以 $\mathrm{MN} / / \mathrm{PO}$ ，且 $M N=\frac{1}{2} P O=1$ ，由 $P O \perp$ 平面 ABCD ，得 $M N \perp$ 平面 ABCD ，所以 $\angle M A N$ 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt $\triangle D A O$ 中，$A D=1, A O=\frac{1}{2}$ ，

所以 $D O=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，从而 $A N=\frac{1}{2} D O=\frac{\sqrt{5}}{4}$ ，在 Rt $\triangle A N M$ 中， $\tan \angle M A N=\frac{M N}{A N}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4}}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，

即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．