2022_浙江卷
14. 已知函数 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - x ^ { 2 } + 2 , \ x \leq 1 , } \\ { \displaystyle x + \frac { 1 } { x } - 1 , \ x > 1 , } \end{array} \right.$ 则 $f { \Bigg ( } f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } { \Bigg ) } =$ \_；若当 $x \in [ a , b ]$ 时， $1 \leq f ( x ) \leq 3$ ，则$b - a$ 的最大值是【答案】 ①. $\frac { 3 7 } { 2 8 }$ ②. $3 + { \sqrt { 3 } } \# \# { \sqrt { 3 } } + 3$
${ \frac { 3 7 } { 2 8 } } , 3 + { \sqrt { 3 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【详解】由已知 $f ( \frac { 1 } { 2 } ) = - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + 2 = \frac { 7 } { 4 } , f ( \frac { 7 } { 4 } ) = \frac { 7 } { 4 } + \frac { 4 } { 7 } - 1 = \frac { 3 7 } { 2 8 }$
所以 $f { \Biggl [ } f ( { \frac { 1 } { 2 } } ) { \Biggr ] } = { \frac { 3 7 } { 2 8 } }$
当 $x \leq 1$ 时，由 $1 \leq f ( x ) \leq 3$ 可得 $1 \leq - x ^ { 2 } + 2 \leq 3$ ，所以 $- 1 \leq x \leq 1$ 当 $x > 1$ 时，由 $1 \leq f ( x ) \leq 3$ 可得 $1 \leq x + { \frac { 1 } { x } } - 1 \leq 3$ ，所以 $1 < x \leq 2 + { \sqrt { 3 } }$ $1 \leq f ( x ) \leq 3$ 等价于 $- 1 \leq x \leq 2 + { \sqrt { 3 } }$ ，所以 $[ a , b ] \subseteq [ - 1 , 2 + { \sqrt { 3 } } ]$ 所以b a- 的最大值为 $3 + { \sqrt { 3 } }$ 故答案为： ${ \frac { 3 7 } { 2 8 } } , 3 + { \sqrt { 3 } }$