已知向量 a， b 满足 | a - b |= 3， |…——2023 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\sqrt{3}$

【解析】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 $c = a - b$ ，结合数量积的运算律运算求解.

【详解】法一：因为 $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|2\vec{a}-\vec{b}\right|$ ，即 $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)^{2}=\left(2\vec{a}-\vec{b}\right)^{2}$ ，

则 $r_{2} + 2a \cdot b + b = 4a - 4a \cdot b + b^{2}$ ，整理得 $\vec{a}^{2} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，

又因为 $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=\sqrt{3}$ ，即 $\left(\vec{a}-\vec{b}\right)^{2}=3$ ，

则 $\frac{r_2}{a} - 2a \cdot b + b = \frac{r_2}{b} = 3$ ，所以 $\left|\vec{b}\right| = \sqrt{3}$ .

法二：设 $c = a - b$ ，则 $\left|c\right| = \sqrt{3}, a + b = c + 2b, 2a - b = 2c + b,$

由题意可得： $\left(\stackrel{\mathsf{r}}{c}+2\stackrel{\mathsf{r}}{b}\right)^{2}=\left(2\stackrel{\mathsf{r}}{c}+b\right)^{2}$ ，则 $\stackrel{\mathsf{r}_{2}}{c}+4\stackrel{\mathsf{r}}{c}\cdot\stackrel{\mathsf{r}}{b}+4\stackrel{\mathsf{r}_{2}}{b}=4\stackrel{\mathsf{r}_{2}}{c}+4\stackrel{\mathsf{r}}{c}\cdot\stackrel{\mathsf{r}}{b}+b$

整理得： $r_{2}=r_{2}$ ，即 $\left|b\right|=\left|c\right|=\sqrt{3}$

故答案为： $\sqrt{3}$ .