2023_全国甲卷
7. 设 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 为椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 5 } + y ^ { 2 } = 1$ 的两个焦点，点P在C上，若 $\overrightarrow { P F _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { P F _ { 2 } } = 0$ ，则 $\left| P F _ { 1 } \right| \cdot \left| P F _ { 2 } \right| =$ （ ）
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】B
【解析】
**方法一**：根据焦点三角形面积公式求出 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 的面积，即可解出；
**方法一**：因为 $\overrightarrow { P F _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { P F _ { 2 } } = 0$ ，所以 $\angle F P F _ { 1 } F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ }$
从而 $S _ { \scriptscriptstyle \triangle F P _ { 1 } F _ { 2 } } = b ^ { 2 } \tan 4 5 ^ { \circ } = 1 = \frac { 1 } { 2 } \times \left| P F _ { 1 } \right| \cdot \left| P F _ { 2 } \right|$ ，所以 $\left| P F _ { 1 } \right| \cdot \left| P F _ { 2 } \right| = 2$
故选：B.
**方法二**：
因为 $\overrightarrow { P F _ { 1 } } \cdot \overrightarrow { P F _ { 2 } } = 0$ ，所以 $\angle F P F _ { 1 } F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ }$ ，由椭圆方程可知， $c ^ { 2 } = 5 - 1 = 4 \Rightarrow c = 2$
所以 $\left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 } = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } = 1 6$ ，又 $\left| P F _ { 1 } \right| + \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a = 2 \sqrt { 5 }$ ，平方得：
$\left| P F _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| P F _ { 2 } \right| ^ { 2 } + 2 \left| P F _ { 1 } \right| \left| P F _ { 2 } \right| = 1 6 + 2 \left| P F _ { 1 } \right| \left| P F _ { 2 } \right| = 2 0$ ，所以 $\left| P F _ { 1 } \right| \cdot \left| P F _ { 2 } \right| = 2$