已知函数 f(x)=ln x- x+1 x-1 ． （1）…——2019 高考数学第 20 题答案解析

【解析】
【分析】
（1）对函数 $f(x)$ 求导，结合定义域，判断函数的单调性；
（2）先求出曲线 $y=\ln x$ 在 $\mathrm{A}\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ 处的切线 $l$ ，然后求出当曲线 $y=e^{x}$ 切线的斜率与 $l$ 斜率相等时，证明曲线 $y=e^{x}$ 切线 $l^{\prime}$ 在纵轴上的截距与 $l$ 在纵轴的截距相等即可．

【详解】（1）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1) \cup(1,+\infty)$ ， $f(x)=\ln x-\frac{x+1}{x-1} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{x^{2}+1}{x(x-1)^{2}}$ ，因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1) \cup(1,+\infty)$ ，所以 $f^{\prime}(x)>0$ ，因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上是单调增函数；

当 $x \in(0,1)$, 时，$x \rightarrow 0, y \rightarrow-\infty$ ，而 $f\left(\frac{1}{e}\right)=\ln \frac{1}{e}-\frac{\frac{1}{e}+1}{\frac{1}{e}-1}=\frac{2}{e-1}>0$ ，显然当 $x \in(0,1)$
，函数 $f(x)$ 有零点，而函数 $f(x)$ 在 $x \in(0,1)$ 上单调递增，故当 $x \in(0,1)$ 时，函数 $f(x)$ 有唯一的零点；

当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$f(e)=\ln e-\frac{e+1}{e-1}=\frac{-2}{e-1}<0, f\left(e^{2}\right)=\ln e^{2}-\frac{e^{2}+1}{e^{2}-1}=\frac{e^{2}-3}{e^{2}-1}>0$ ，
因为 $f(e) \cdot f\left(e^{2}\right)<0$ ，所以函数 $f(x)$ 在 $\left(e, e^{2}\right)$ 必有一零点，而函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是单调递增，故当 $x \in(1,+\infty)$ 时，函数 $f(x)$ 有唯一的零点

综上所述，函数 $f(x)$ 的定义域 $(0,1) \cup(1,+\infty)$ 内有 2 个零点；
（2）因为 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的一个零点，所以 $f\left(x_{0}\right)=\ln x_{0}-\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}=0 \Rightarrow \ln x_{0}=\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$
$y=\ln x \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{x}$ ，所以曲线 $y=\ln x$ 在 $\mathrm{A}\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ 处的切线 $l$ 的斜率 $k=\frac{1}{x_{0}}$ ，故曲线 $y=\ln x$ 在 $\mathrm{A}\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ 处的切线 $l$ 的方程为：$y-\ln x_{0}=\frac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)$ 而 $\ln x_{0}=\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$ ，所以 $l$ 的方程为 $y=\frac{x}{x_{0}}+\frac{2}{x_{0}-1}$ ，它在纵轴的截距为 $\frac{2}{x_{0}-1}$ ．

设曲线 $y=e^{x}$ 的切点为 $B\left(x_{1}, e^{x_{1}}\right)$ ，过切点为 $B\left(x_{1}, e^{x_{1}}\right)$ 切线 $l^{\prime}, y=e^{x} \Rightarrow y^{\prime}=e^{x}$ ，所以在 $B\left(x_{1}, e^{x_{1}}\right)$ 处的切线 $l^{\prime}$ 的斜率为 $e^{x_{1}}$ ，因此切线 $l^{\prime}$ 的方程为 $y=e^{x_{1}} x+e^{x_{1}}\left(1-x_{1}\right)$ ，当切线 $l^{\prime}$ 的斜率 $k_{1}=e^{x_{1}}$ 等于直线 $l$ 的斜率 $k=\frac{1}{x_{0}}$ 时，即 $e^{x_{1}}=\frac{1}{x_{0}} \Rightarrow x_{1}=-\left(\ln x_{0}\right)$ ，

切线 $l^{\prime}$ 在纵轴的截距为 $b_{1}=e^{x_{1}}\left(1-x_{1}\right)=e^{-\ln x_{0}}\left(1+\ln x_{0}\right)=\frac{1}{x_{0}}\left(1+\ln x_{0}\right)$ ，而 $\ln x_{0}=\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$ ，所以 $b_{1}=\frac{1}{x_{0}}\left(1+\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}\right)=\frac{2}{x_{0}-1}$ ，直线 $l, l^{\prime}$ 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此

直线 $l, l^{\prime}$ 重合，故曲线 $y=\ln x$ 在 $\mathrm{A}\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ 处的切线也是曲线 $y=e^{x}$ 的切线．
【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力。