（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考…——2010 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（13分）（2010•湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8 Km的 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点的直线为 x 轴，线段 A B 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（如图）。考察范围到 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点的距离之和不超过 10 Km 的区域。
①求考察区域边界曲线的方程：
②如图所示，设线段 $\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线上？

【考点】椭圆的标准方程；等比数列的性质；点到直线的距离公式．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】①设边界曲线上点 P 的坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，由 $|\mathrm{PA}|+|\mathrm{PB}|=10$ 知，点 P 在以 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为焦点、长轴长为 $2 a=10$ 的椭圆上．由此可知考察区域边界曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
②由题意知过点 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ 的直线方程为 $4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+47=0$ ．因此点 A 到直线 $\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}$ 的距离为 $\mathrm{d}=\frac{|-16+47|}{\sqrt{16+9}}=\frac{31}{5}$ ，设经过 n 年，点 A 恰好在冰川边界上，则利用等比数列求和公式可得 $\frac{0.2\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=\frac{31}{5}$ ，由此可知经过 5 年，点 A 恰好在冰川边界上．

【解答】解：（1）设边界曲线上点 P 的坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，
由 $|\mathrm{PA}|+|\mathrm{PB}|=10$ 知，点 P 在以 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为焦点、长轴长为 $2 \mathrm{a}=10$ 的椭圆上．
此时 $b=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$ ，
∴ 考察区域边界曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
②由题意知过点 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ 的直线方程为 $4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+47=0$ ．
因此点 A 到直线 $\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}$ 的距离为 $\mathrm{d}=\frac{|-16+47|}{\sqrt{16+9}}=\frac{31}{5}$ ，
设经过 n 年，点 A 恰好在冰川边界上，
则利用等比数列求和公式可得 $\frac{0.2\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=\frac{31}{5}$ ，
解得 $\mathrm{n}=5$ ，
即经过 5 年，点 A 恰好在冰川边界上。
【点评】本题考查椭圆的性质和等比数列的知识，解题时要注意公式的灵活运用．