（14分）已知 A、 B、C 为 A B C 的三个内角，…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【解析】：（1）因为 $\sin A = 2 \sin B$ ，可得 $a = 2 b$

又 $a = 2$ ，可得b=1，

由于 $\cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } } = { \frac { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 \times 2 \times 1 } } = - { \frac { 1 } { 4 } }$ ，可得 $c = { \sqrt { 6 } }$

（2）因为 $\cos ( A - { \frac { \pi } { 4 } } ) = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ( \cos A + \sin A ) = { \frac { 4 } { 5 } }$

可得 $\cos A + \sin A = { \frac { 4 { \sqrt { 2 } } } { 5 } }$

又 $\cos ^ { 2 } A + \sin ^ { 2 } A = 1$

可解得 $\cos A = { \frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 } }$ $\sin A = { \frac { \sqrt { 2 } } { 1 0 } }$ ，或 $\sin A = { \frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 } }$ $\cos A = { \frac { \sqrt { 2 } } { 1 0 } }$

因为 $\cos C = - { \frac { 1 } { 4 } }$ ，可得 $\sin C = { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } }$ $\tan C = - { \sqrt { 1 5 } }$

若 $\sin A = { \frac { 7 { \sqrt { 2 } } } { 1 0 } } , \cos A = { \frac { \sqrt { 2 } } { 1 0 } }$ ，可得 $\tan A = 7$ ，可得

$$ \tan B = - \tan ( A + C ) = { \frac { \tan A + \tan C } { \tan A \tan C - 1 } } = { \frac { 7 - { \sqrt { 1 5 } } } { 7 \times ( - { \sqrt { 1 5 } } ) - 1 } } < 0 $$

可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，

所以 $\sin A = { \frac { \sqrt { 2 } } { 1 0 } }$ ，由正弦定理 ${ \frac { 2 } { \sin A } } { = } { \frac { c } { \sin C } }$ ，可得 $c = { \frac { 5 { \sqrt { 3 0 } } } { 2 } }$

【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题