2015_上海卷
19、（本题满分12分）如图，在长方体 $\mathrm { A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 中， $\mathbf { A } \mathbf { A } _ { 1 } = 1$ ${ \mathrm { A B } } = { \mathrm { A D } } = 2$ ，E、F分别是AB、BC的中点．证明 $\mathbf { A } _ { 1 } \setminus \mathbf { C } _ { 1 }$ 、F、E四点共面，并求直线 $\mathrm { C D } _ { 1 }$ 与平面 $\mathbf { A } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 1 } \mathrm { F E }$ 所成的角的大小.
$\arcsin { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 1 5 } }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $\arcsin { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 1 5 } }$
【解析】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 $\mathrm { A } _ { 1 } ( 2 , 0 . 1 )$ ${ \mathrm { C } } _ { 1 } ( 0 , 2 , 1 )$ E(2,1,0)、F(1,2,0)、C(0,2,0)、D.(0,0,1).
因为 $\overline { { \mathrm { A _ { 1 } C _ { 1 } } } } = \left( - 2 , 2 , 0 \right)$ $\overrightarrow { \mathrm { E F } } = \left( - 1 , 1 , 0 \right)$
所以 $\overline { { \mathrm { A _ { 1 } C _ { 1 } } } } / / \overline { { \mathrm { E F } } }$ ，因此直线 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 }$ 与EF共面，
即 $\mathrm { A } _ { 1 } , ~ \mathrm { C } _ { 1 } , ~ \mathrm { F }$ 、E共面.
设平面 $A C _ { 1 } E F$ 的法向量为 $\overline { n } = ( u , y , w )$ ，则 $\overline { { n } } \perp \overline { { \mathrm { E F } } }$ $\overline { { n } } \perp \overline { { \mathrm { F C _ { 1 } } } }$ 又 $\overrightarrow { \mathrm { E F } } = \left( - 1 , 1 , 0 \right)$ $\overline { { \mathrm { F C _ { 1 } } } } = \left( - 1 , 0 . 1 \right)$
故 $\left\{ { - u + v = 0 \atop - u + w = 0 } \right.$ ，解得 $u = v = w$
取u=1，得平面 $\mathrm { A _ { 1 } C _ { 1 } F E }$ 的一个法向量 $\overline { { n } } = ( 1 , 1 , 1 )$ $\overline { { \mathrm { C D } _ { 1 } } } = \left( 0 , - 2 , 1 \right)$
故 $\frac { \overline { { \mathbf { C D } _ { 1 } } } \cdot \vec { n } } { \left| \overline { { \mathbf { C D } _ { 1 } } } \right| \left| \vec { n } \right| } = - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 1 5 }$
因此直线 $C D _ { 1 }$ 与平面 $A C _ { 1 } F E$ 所成的角的大小为arcsin $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 1 5 }$
【考点定位】空间向量求线面角