2015_天津卷
14．（20分）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子在第 1 层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度 $\mathbf { v } _ { 2 }$ 的大小与轨迹半径 $\mathbf { r } _ { 2 } ;$
（2）粒子从第 n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为 $\theta _ { \mathrm { n } }$ ，试求$\sin \theta _ { \mathrm { n } }$ ；
（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第 n 层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。
见解析
【考点】AK：带电粒子在匀强电场中的运动； $\mathrm { { C I } { : } }$ 带电粒子在匀强磁场中的运动
【专题】537：带电粒子在复合场中的运动专题
【分析】（1）粒子在混合场中加速，由动能定理可求得进入第 2 层时的速度；再由洛仑兹力充当向心力可求得半径；
（2）根据电场力做功可明确速渡，再根据洛仑兹力充当向心力找出第n层中的半径关系，由数学规律可得出通项式，即可求出 $\sin \theta _ { \mathrm { n } }$
（3）根据题意进行假设，通过讨论明确增大比荷能否使粒子飞出右侧磁场。
【解答】解：（1）粒子在进入第 2 层磁场时，经过两次加速，中间穿过磁场时洛仑兹力不做功；由动能定理可得：
$$ 2 { \mathrm { q E d } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \mathrm { m v } } _ { 2 } ^ { 2 } $$
解得： $\mathrm { v } _ { 2 } { = } 2 \sqrt { \frac { q E d } { m } } ;$
粒子在第2层磁场中受到的洛仑兹力充当向心力，有：
$$ \mathrm { q v } _ { 2 } \mathrm { B } { = } \mathrm { m } \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } } { r _ { 2 } } $$
解得： $\Gamma _ { 2 } { = } \frac { 2 } { B } \sqrt { \frac { m E d } { q } } ;$
> ②设粒子在第n层磁场中运动的速度为 ${ \bf v _ { n } }$ ，轨迹半径为 ${ \bf r } _ { \mathrm { n } } ;$
则有：
$$ \mathrm { n q E d } { = } \frac { 1 } { 2 } \mathrm { m v _ { n } } ^ { 2 } $$
$$ \scriptstyle { \mathrm { q v _ { n } B } = \mathrm { m } { \frac { v _ { n } ^ { 2 } } { r _ { n } } } } ; $$
粒子进入第 n 层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为 $\alpha _ { \mathrm { n } } ;$ ，从第 n 层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为 $\theta _ { \mathrm { n } }$ ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有：
$$ \mathbf { v _ { n } } _ { - 1 } \mathrm { s i n } \theta _ { \mathrm { n } - 1 } { = } \mathbf { v _ { n } } \mathrm { s i n } \alpha _ { \mathrm { n } } $$
如图所示：
$$ \mathrm { r _ { n } s i n } \theta _ { \mathrm { n } } - \mathrm { r _ { n } s i n } \alpha _ { \mathrm { n } } { = } \mathrm { d } ; $$
由以上三式可得：
$$ \mathrm { r _ { n } s i n } \theta _ { \mathrm { n } } - \mathrm { r _ { n - 1 } s i n } \theta _ { \mathrm { n - 1 } } { = } \mathrm { d } ; $$
则可知， $\mathrm { r _ { 1 } s i n \theta _ { 1 } \mathrm { , ~ \ r _ { 2 } s i n \theta _ { 2 } \mathrm { , ~ \ r _ { 3 } s i n \theta _ { 3 } \mathrm { , ~ \ \cdots \mathrm { r _ { n } s i n \theta _ { n } } } } } }$ 为一组等差数列，公差为d，可得：
$$ \mathrm { r _ { n } s i n \theta _ { n } { = } r _ { 1 } s i n \theta _ { 1 } { + } \left( n - 1 \right) \ d ; } $$
当n＝1时，由图2可知：
$$ \mathbf { r } _ { 1 } \mathrm { s i n } \theta _ { 1 } { = } \mathbf { d } $$
图 则可得：
$$ \mathrm { s i n } \theta _ { \mathrm { n } } { = } \mathrm { B } \sqrt { \frac { n q d } { 2 m E } } $$
（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则有：
$$ \Theta _ { \mathrm { n } } = \frac { \pi } { 2 } $$
$$ \sin \theta _ { \mathrm { n } } = 1 ; $$
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为 $| \frac { q \prime } { m \prime } \rangle$ ，假设能穿出第 n 层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为 ${ \theta _ { \mathrm { n } } } ^ { \prime }$ ．由 $\mathbb { F } \frac { q \prime } { m \prime } \simeq \frac { q } { m }$ ，则导致$\sin \theta _ { \mathrm { n } } ^ { \ \prime } > 1$
说明 ${ \boldsymbol { \theta } } \mathbf { n } ^ { \prime }$ 不存在，即假设不成立，所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
答：（1）粒子在第2层磁场中运动时速度 $\mathbf { v } _ { 2 }$ 的大小为 $2 { \sqrt { \frac { q E d } { m } } } ;$ ；轨迹半径 $\mathbf { r } _ { 2 }$ 为 $\mathop { \sum } _ { B } \sqrt { \frac { m E d } { q } }$ （2）粒子从第 n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为 $\theta _ { \mathrm { n } } , ~ \sin \theta _ { \mathrm { n } }$ 为$\mathbf { B } { \sqrt { \frac { n q d } { 2 m E } } }$
（3）比荷较大的粒子不能飞出右侧边界。
【点评】本题考查带电粒子在磁场中的运动，属于高考的压轴题，要求学生能正确分析物理过程，并能灵活应用物理学中相应的规律；同时还要注意掌握数学知识在物理学中的应用；该类问题的难度较大，对学生综合能力要求极高。