在 A B C 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分 13 分。
（I）解：由 $B=C, 2 b=\sqrt{3} a$ ，可得 $c=b=\frac{\sqrt{3}}{2} a$
所以 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{\frac{3}{4} a^{2}+\frac{3}{4} a^{2}-a^{2}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} a \times \frac{\sqrt{3}}{2} a}=\frac{1}{3}$ ．
（II）解：因为 $\cos A=\frac{1}{3}, A \in(0, \pi)$ ，所以 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\cos 2 A=-2 \cos ^{2} A-1=-\frac{7}{9}$ ．故 $\sin 2 A=2 \sin A \cos A=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ ．
所以 $\cos \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)=\cos 2 A \cos \frac{\pi}{4}-\sin 2 A \sin \frac{\pi}{4}$

$$ =\left(-\frac{7}{9}\right) \times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4 \sqrt{2}}{9} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{8+7 \sqrt{2}}{18} . $$