【答案】（1）见解析；
> ② $\left( \boldsymbol { \mathrm { 1 } } \right) b _ { n } { = } n \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ ; ②5.
【解析】
【分析】
> ①由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；
（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是等差数列，据此即可确定其通项公式；
②由①确定 $b _ { k }$ 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值
【详解】①设等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为q，所以 $a _ { 1 } { \neq } 0 , \ q { \neq } 0$
由 $\begin{array} { l } { { \displaystyle { \int } a _ { 2 } a _ { 4 } = a _ { 5 } } } \\ { { \displaystyle a _ { 3 } - 4 a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } = 0 } } \end{array}$ ，得 $\begin{array} { l } { { \{ a _ { 1 } ^ { 2 } q ^ { 4 } = a _ { 1 } q ^ { 4 } \qquad } } \\ { { a _ { 1 } q ^ { 2 } - 4 a _ { 1 } q + 4 a _ { 1 } = 0 \qquad } } \end{array}$ ，解得 $\begin{array} { c } { { \left\{ { { a } _ { 1 } } = 1 \atop { { q } = 2 } \right. } } \end{array}$
因此数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为“M—数列”.
(2) ①因为 $\frac { 1 } { S _ { n } } = \frac { 2 } { b _ { n } } - \frac { 2 } { b _ { n + 1 } }$ ，所以 $b _ { n } \neq 0$
由 $b _ { 1 } = 1 , S _ { 1 } = b _ { 1 }$ 得 $\frac { 1 } { 1 } = \frac { 2 } { 1 } - \frac { 2 } { b _ { 2 } }$ ，则 $b _ { 2 } = 2$
由 $\frac { 1 } { S _ { n } } = \frac { 2 } { b _ { n } } - \frac { 2 } { b _ { n + 1 } }$ ，得 $S _ { n } = { \frac { b _ { n } b _ { n + 1 } } { 2 ( b _ { n + 1 } - b _ { n } ) } }$
当 $n \geq 2$ 时，由 $b _ { n } = S _ { n } - S _ { n - 1 }$ ，得 $b _ { n } = \frac { b _ { n } b _ { n + 1 } } { 2 \big ( b _ { n + 1 } - b _ { n } \big ) } - \frac { b _ { n - 1 } b _ { n } } { 2 \big ( b _ { n } - b _ { n - 1 } \big ) }$
整理得 $b _ { n + 1 } + b _ { n - 1 } = 2 b _ { n }$
所以数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式为 $b _ { n } { = } n \Big ( n \in N ^ { * } \Big )$
②由①知， $b _ { k } { = } k , k \in N ^ { * }$
因为数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ 为“M-数列”，设公比为q，所以 $\scriptstyle { c _ { 1 } = 1 , \ q > 0 }$
因为 $c _ { k } { \le } b _ { k } { \le } c _ { k + 1 }$ ，所以 $q ^ { k - 1 } \leq k \leq q ^ { k }$ ，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1;
当k=2，3，…，m时，有 ${ \frac { \ln k } { k } } \leq \ln q \leq { \frac { \ln k } { k - 1 } }$
设 $f \left( x \right) = \frac { \ln x } { x } ( x > 1 )$ ，则 $f ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 1 - \ln x } { x ^ { 2 } } }$
$f ^ { \prime } ( x ) = 0$ ，得x=e.列表如下：
<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>(1,e)</td><td rowspan=1 colspan=1>e</td><td rowspan=1 colspan=1> $( e , \ + \infty )$ </td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1> $f ^ { \prime } ( x )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>十</td><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>f(x)</td><td rowspan=1 colspan=1>7</td><td rowspan=1 colspan=1>极大值</td><td rowspan=1 colspan=1>一</td></tr></table>
因为 $\frac { \ln 2 } { 2 } = \frac { \ln 8 } { 6 } < \frac { \ln 9 } { 6 } = \frac { \ln 3 } { 3 }$ ，所以 $f ( k ) _ { \mathrm { m a x } } = f ( 3 ) = { \frac { \ln 3 } { 3 } }$
取 $q = \sqrt [ 3 ] { 3 }$ ，当k=1，2，3，4，5时， ${ \frac { \ln k } { k } } , \ln q$ ，即 $k \leq q ^ { k }$
经检验知 $q ^ { k - 1 } \leq k$ 也成立.
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6，分别取k=3，6，得 $3 { \le } q ^ { 3 }$ ，且 $q ^ { 5 } { \le } 6$ ，从而 $\dot { \boldsymbol { q } } ^ { 1 5 } 2 2 4 3$ ，且 $\cdot q ^ { 1 5 } { \leq } 2 1 6$
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5.
【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.