类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束…——2024 高考物理第 22 题答案解析

【答案】（1） $\frac { 2 m \nu _ { 0 } } { B e }$ ；（2） $\sqrt { 2 }$ ；（3） $U \leq - \frac { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } { 2 e }$ ；（4）见解析

【解析】

【详解】（1）根据牛顿第二定律

$$ B e v _ {0} = m \frac {v _ {0} ^ {2}}{r} $$

不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为

$$ d _ {\mathrm{min}} = 2 r = \frac {2 m v _ {0}}{B e} $$

> ②设水平方向为x方向，竖直方向为y 方向，x方向速度不变，y方向速度变小，假设折射角为 $\theta ^ { \prime }$ ，根据动能定理

$$ U e = \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {0} ^ {2} $$

解得

$$ v _ {1} = \sqrt {2} v _ {0} $$

根据速度关系

$$ v _ {0} \sin \theta = v _ {1} \sin \theta^ {\prime} $$

解得

$$ n = \frac {\sin \theta}{\sin \theta^ {\prime}} = \frac {v _ {1}}{v _ {0}} = \sqrt {2} $$

（3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候^y方向速度为零，即

$$ U e = 0 - \frac {1}{2} m (v _ {0} \cos \theta) ^ {2} $$

可得

$$ U = - \frac {m v _ {0} ^ {2} \cos^ {2} \theta}{2 e} $$

即应满足

$$ U \leq - \frac {m v _ {0} ^ {2} \cos^ {2} \theta}{2 e} $$

（4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得

$$ \angle C P Q = 3 0 ^ {\circ} $$

所以如果 $U \geq 0$ 的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下：①当 $U \geq 0$ 时

$$ F = 2 N m v _ {y} $$

又

$$ e U = \frac {1}{2} m v _ {y} ^ {2} - \frac {1}{2} m (v _ {0} \cos \theta) ^ {2} $$

解得

$$ F = 2 N m \sqrt {\frac {3}{4} v _ {0} ^ {2} + \frac {2 e U}{m}} $$

全部都打不到板的情况

②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为 $6 0 ^ { \circ }$ 时，粒子刚好打到D 点，水平方向速度为

$$ v _ {x} = \frac {v _ {0}}{2} $$

所以

$$ v _ {y} = \frac {v _ {x}}{\tan 6 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {3}}{6} v _ {0} $$

又

$$ e U = \frac {1}{2} m v _ {y} ^ {2} - \frac {1}{2} m (v _ {0} \cos \theta) ^ {2} $$

解得

$$ U = - \frac {m v _ {0} ^ {2}}{3 e} $$

即当 $U < - \frac { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 e }$ 时

$$ F = 0 $$

③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为 $( - \frac { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 e } \leq U < 0 )$ ），此时仅有O 点右侧的一束粒子能打

到板上，因此

$$ F = N m v _ {y} $$

又

$$ e U = \frac {1}{2} m v _ {y} ^ {2} - \frac {1}{2} m (v _ {0} \cos \theta) ^ {2} $$

解得

$$ F = N m \sqrt {\frac {3}{4} v _ {0} ^ {2} + \frac {2 e U}{m}} $$