2012_退役省自主命题 (2012·理)
（17）（本小题满分 12 分）
已知向量 $\vec{m}=(\sin x, 1), \vec{n}=\left(\sqrt{3} A \cos x, \frac{A}{3} \cos 2 x\right)(A>0)$ ，函数 $f(x)=\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值为6．
（I）求 $A$ ；
（II）将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短
为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象．求 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{5 \pi}{24}\right]$ 上的值域．
【解答】
（12分）（2012 • 山东）已知向量 $\vec{\Pi}=(\sin x, 1), \overrightarrow{\mathrm{n}}=\left(\sqrt{3} A \cos x, \frac{A}{2} \cos 2 x\right) \quad(A>0)$ ，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\vec{\pi} \bullet \overrightarrow{\mathrm{n}}$ 的最大值为 6 ．
（I）求A；
（II）将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象像左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象．求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $\left[0, \frac{5 \pi}{24}\right]$ 上的值域．
考点 三角函数的最值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的定义域和值 ：域；函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换．
专题 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
：
分析（I）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个 ：角的一个三角函数的形式，通过最大值求 A ；
（II）通过将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象像左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象．求出 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的表达式，通过 $\mathrm{x} \in\left[0, \frac{5 \pi}{24}\right]$ 求出函数的值域．
解答
解：（I）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\vec{\Pi} \bullet \overrightarrow{\mathrm{n}}$
$=\sqrt{3} A \sin x \cos x+\frac{A}{2} \cos 2 x$
$=A\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2} \cos 2 x\right)$
$=A \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ ．
因为 $A>0$ ，由题意可知 $A=6$ ．
（II）由（I） $\mathrm{f}(\mathrm{x})=6 \sin \left(2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{6}\right)$ ．
将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位后得到，
$\mathrm{y}=6 \sin \left[2\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=6 \sin \left(2 \mathrm{x}+\frac{\pi}{3}\right)$ 。的图象。再将所得图象各点的横坐标缩短
为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，
纵坐标不变，得到函数 $y=6 \sin \left(4 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象．因此 $g(x)=6 \sin \left(4 x+\frac{\pi}{3}\right)$ ．
因为 $x \in\left[0, \frac{5 \pi}{24}\right]$ ，所以 $4 x+\frac{\pi}{3} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{7 \pi}{6}\right], 4 x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$ 时取得最大值 $6,4 x+\frac{\pi}{3}=$
$\frac{7 \pi}{6}$ 时函数取得最小值 -3 ．
故 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{5 \pi}{24}\right]$ 上的值域为 $[-3,6]$ ．
点评 本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定 ：义域和值域，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{x}+\phi)$ 的图象变换，考查计算能力。