2015_北京卷
12．（18 分）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块（可视为质点）的质量为 m，在水平桌面上沿 x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x 时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
（1）请画出 F 随 x 变化的示意图；并根据 F﹣x 图象求物块沿 x 轴从 O 点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
（2）物块由 $\mathbf { X } _ { 1 }$ 向右运动到 ${ \bf X } _ { 3 }$ ，然后由 ${ \bf X } _ { 3 }$ 返回到 $\mathbf { X } _ { 2 }$ ，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
见解析
【考点】6B：功能关系
【分析】（1）由胡克定律可得出对应的公式，则可得出对应的图象；再根据 v﹣t图象中面积表示移进行迁移应用，即可求得弹力做功；
> ②a、根据（1）中求出功的公式可分别求出两过程中弹力做功，即可求出总功，再由功能关系求解弹力做功情况；
b、根据摩擦力的特点求解摩擦力的功，通过比较可明确能不能引入“摩擦力势能”。
【解答】解：（1）F﹣x图象如图所示；
物块沿 x 轴从 O 点运动到位置 x 的过程中，弹力做负功：F﹣x 图线下的面积等于弹力做功大小；
故弹力做功为： $\mathbf { W } = - \ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { k x } \bullet \mathbf { x } = - \ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { k x } ^ { 2 }$
> ②a、物块由 $\mathbf { X } _ { 1 }$ 向右运动到 ${ \bf X } _ { 3 }$ 的过程中，弹力做功为：
$$ { \bf W } _ { \mathrm { T } 1 } { = } - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } ( \mathrm { \bf ~ k x } _ { 1 } + \mathrm { \bf { k } x } _ { 3 } ) \mathrm { ~ \rho ~ } ( \mathrm { \bf ~ x } _ { 3 } - \mathrm { \bf { x } } _ { 1 } ) = \mathrm { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { \bf { k } } { \mathrm { \bf { x } } _ { 1 } } ^ { 2 } - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \mathrm { \bf { k } } { \mathrm { \bf { x } } _ { 3 } } ^ { 2 } ; $$
物块由 ${ \bf X } _ { 3 }$ 运动到 $\mathbf { X } _ { 2 }$ 的过程中，弹力做功为：
$$ \mathrm { W _ { T 2 } } { = } \frac { 1 } { 2 } ~ ( \mathrm { { k x _ { 2 } } { + } { k x _ { 3 } } } ) \quad ( \mathrm { { x } } _ { 3 } \mathrm { { - } } { \mathrm { { x } } _ { 2 } } ) ~ { = } \frac { 1 } { 2 } \mathrm { { k { x } } _ { 3 } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { { k { x } } _ { 2 } } ^ { 2 } ; $$
整个过程中弹力做功：
$$ \mathbf { W } _ { \mathrm { T } } { = } \mathbf { W } _ { \mathrm { T 1 } } { + } \mathbf { W } _ { \mathrm { T 2 } } { = } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k } { \mathbf { x } _ { \mathrm { 1 } } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k } { \mathbf { x } _ { \mathrm { 2 } } } ^ { 2 } \mathbf { ; } $$
弹性势能的变化量为：
$$ \Delta \mathrm { E } _ { \mathrm { p } } = - \mathrm { ~ W ~ } _ { \mathrm { T } } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { k x } _ { 2 } { } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { k x } _ { 1 } { } ^ { 2 } ; $$
b、整个过程中，摩擦力做功：
$$ \mathbf { W _ { f } } { = } - \mathbf { \Gamma } \mathbf { \mu } \mathbf { \mathrm { m g } } ( 2 \mathbf { x } _ { 3 } \textrm { - } \mathbf { x } _ { 1 } \textrm { - } \mathbf { x } _ { 2 } ) $$
比较两力做功可知，弹力做功与实际路径无关，取决于始末两点间的位置；因此我们可以定义一个由物体之间的相互作用力（弹力）和相对位置决定的能量﹣﹣弹性势能；
而摩擦力做功与 ${ \bf X } _ { 3 }$ 有关，即与实际路径有关，因此不能定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
答：（1）图象如图所示；弹力做功为： $- \frac { 1 } { 2 } \mathbf { k } \mathbf { x } ^ { 2 }$
（ 2 ） 弹 性 势 能 的 变 化 量 为 $\frac { 1 } { 2 } \mathrm { k x } _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { k x } _ { 1 } ^ { 2 }$ ； 摩 擦 力 做 功 ： $\mathrm { W _ { f } } \mathrm { = - \mu m g }$ $( 2 { \bf x } _ { 3 } - { \bf x } _ { 1 } - { \bf x } _ { 2 } )$ ；不能引入“摩擦力势能”。
【点评】本题考查功能关系的应用及图象的正确应用，在解决物理问题时一定要注意知识的迁移，通过本题可掌握求变力功的一种方法。