函数 y=2 cos ^ 2 (x- π 4 )-1 是——2009 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
（5分）（2009．广东）函数 $y=2 \cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1$ 是
A．最小正周期为 $\pi$ 的奇函数
B．最小正周期为 $\pi$ 的偶函数
C．最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的奇函数
D．最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的偶函数

【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．
【专题】三角函数的图像与性质。
【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．
【解答】解：由 $\mathrm{y}=2 \cos ^{2}\left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right)-1=\cos \left(2 \mathrm{x}-\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2 \mathrm{x}$ ，
$\therefore \mathrm{T}=\pi$ ，且 $\mathrm{y}=\sin 2 \mathrm{x}$ 奇函数，即函数 $\mathrm{y}=2 \cos ^{2}\left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right)-1$ 是奇函数．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．