（12分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】 LY ：平面与平面垂直； MJ ：二面角的平面角及求法．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离； $5 H$ ：空间向量及应用．

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC」平面ADM即可．
（2）根据三棱锥的体积最大，确定 M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可。

【解答】解：（1）证明：在半圆中， $\mathrm{DM} \perp \mathrm{MC}$ ，
∵ 正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 $\widehat{\mathrm{CD}}$ 所在平面垂直，
$\therefore \mathrm{AD} \perp$ 平面 DCM ，则 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{MC}$ ，
$\because \mathrm{AD} \cap \mathrm{DM}=\mathrm{D}$,
$\therefore \mathrm{MC} \mathrm{\perp}$ 平面 ADM ，
$\because \mathrm{MCC}$ 平面 MBC ，
∴ 平面 $A M D \perp$ 平面 $B M C$ ．
（2）$\because \triangle A B C$ 的面积为定值，
∴ 要使三棱锥M－ABC体积最大，则三棱锥的高最大，
此时 $M$ 为圆弧的中点，
建立以 O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵ 正方形 ABCD 的边长为 2 ，
$\therefore \mathrm{A}(2,-1,0), \mathrm{B}(2,1,0), \mathrm{M}(0,0,1)$ ，
则平面 MCD 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(1,0,0)$ ，
设平面 $M A B$ 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$
则 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,2,0), \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(-2,1,1)$ ，
由 $\overrightarrow{\mathrm{n}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \mathrm{y}=0, \overrightarrow{\mathrm{n}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{AM}}=-2 \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$ ，
令 $\mathrm{x}=1$ ，
则 $y=0, z=2$ ，即 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(1,0,2)$ ，
则 $\cos <\vec{\Pi}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{1 \times \sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ ，

则面 $M A B$ 与面 $M C D$ 所成二面角的正弦值 $\sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．