2018 新课标 III 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{x \mid x-1 \geq 0\}, B=\{0,1,2\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5分）$(1+i)(2-i)=(\quad)$

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来。构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是 

4．（5分）若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$

5．（5分）$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为

6．（5分）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A$ ，$B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=2$上，则 $\triangle A B P$ 面积的取值范围是

7．（5分）函数 $y=-x^{4}+x^{2}+2$ 的图象大致为（ ）

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立．设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， $\mathrm{DX}=2.4, \mathrm{P}(\mathrm{x}=$ 4）{{QUESTIONS_HTML}}lt;p(x=6)$ ，则 $p=(\quad)$

9．（5分）$\triangle A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4}$ ，则 $C=(\quad)$

10．（5分）设 $A, B, C, D$ 是同一个半径为4的球的球面上四点，$\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $\mathrm{D}-\mathrm{ABC}$ 体积的最大值为（）

11．（5分）设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 . b>0)$ 的左，右焦点，$O$是坐标原点。过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|=\sqrt{6}|O P|$ ，则 C 的离心率为（ ）

12．（5分）设 $a=\log _{0.2} 0.3, b=\log _{2} 0.3$ ，则

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,-2), \vec{c}=(1, \lambda)$ ．若 $\vec{c} \|(2 \vec{a}+\vec{b}$ ），则 $\lambda=-\frac{1}{2}-$ ．

14．（5分）曲线 $y=(a x+1) e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率为 -2 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ －3

15．（5分）函数 $f(x)=\cos \left(3 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $[0, \pi]$ 的零点个数为 $\_\_\_\_$ 3 ．

16．（5分）已知点 $M(-1,1)$ 和抛物线 $C: y^{2}=4 x$ ，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点．若 $\angle A M B=90^{\circ}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

17．（12分）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{5}=4 a_{3}$ ． （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m}=63$ ，求 $m$ ．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： | 第一种生产方式 | | 第二种生产方式 | | :--- | :--- | :--- | | 98 | | 6 5 5 6 8 9 <br> 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 <br> 8 1 4 4 5 <br> 9 0 | （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表： | | 超过m | 不超过m | | :--- | :--- | :--- | | 第一种生产方式 | | | | 第二种生产方式 | | | （3）根据②中的列联表，能否有 $99 \%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ， | $P\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :---: | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

19．（12分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 $\widehat{\mathrm{CD}}$ 所在平面垂直，$M$ 是 $\widehat{C D}$ 上异于 $C$ ，$D$ 的点． （1）证明：平面 $\mathrm{AMD} \perp$ 平面 BMC ； （2）当三棱锥 $M-A B C$ 体积最大时，求面 $M A B$ 与面 $M C D$ 所成二面角的正弦值． 

20．（12分）已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$的中点为 $M(1, m)(m>0)$ ． （1）证明： $\mathrm{k}<-\frac{1}{2}$ ； ②设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 $\overrightarrow{\mathrm{FP}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{0}$ ．证明：$|\overrightarrow{\mathrm{FA}}|,|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|, \mid \overrightarrow{\mathrm{FB}} \mid$ 成等差数列，并求该数列的公差。

21．（12分）已知函数 $f(x)=\left(2+x+a x^{2}\right) \ln (1+x)-2 x$ ． （1）若 $a=0$ ，证明：当 $-1<x<0$ 时，$f(x)<0$ ；当 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ； （2）若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ ．

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，$\odot \mathrm{O}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\cos \theta \\ \mathrm{y}=\sin \theta\end{array}\right.$ ，（ $\theta$ 为参数），过点 $(0,-\sqrt{2})$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 交于 $A, B$ 两点． （1）求 $\alpha$ 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．

23．设函数 $f(x)=|2 x+1|+|x-1|$ ． （1）画出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象； （2）当 $x \in[0,+\infty)$ 时，$f(x) \leq a x+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．