（12分） A B C 的内角A，B，C的对边分别为 a,…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．
【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出
（2）先根据夹角求出 $\cos \mathrm{C}$ ，求出 CD 的长，得到 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABD}}=\frac{1}{2} \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{ABC}}$ ．
【解答】解：（1）$\because \sin \mathrm{A}+\sqrt{3} \cos \mathrm{~A}=0$ ，
$\therefore \tan \mathrm{A}=-\sqrt{3}$ ，
$\because 0$\therefore \mathrm{A}=\frac{2 \pi}{3}$,
由余弦定理可得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ，
即 $28=4+c^{2}-2 \times 2 c \times\left(-\frac{1}{2}\right)$ ，
即 $c^{2}+2 c-24=0$ ，
解得 $c=-6$（舍去）或 $c=4$ ，
故 $\mathrm{c}=4$ ．
②$\because c^{2}=b^{2}+a^{2}-2 a b \cos C$ ，
$\therefore 16=28+4-2 \times 2 \sqrt{7} \times 2 \times \cos C$ ，
$\therefore \cos \mathrm{C}=\frac{2}{\sqrt{7}}$,
$\therefore C D=\frac{A C}{\cos C}=\frac{2}{\frac{2}{\sqrt{7}}}=\sqrt{7}$
$\therefore \mathrm{CD}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$

$\because \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$,
$\therefore S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$

【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题