（5 分）（2008 • 四川）已知两个单位向量 a 与…——2008 高考数学第 10 题答案解析

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】由 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 与 $\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 互相垂直等价于 $(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{b}})$ 与 $(\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}})$ 数量积为零，又因为 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}} \neq 0$ ，运算整理可得结果。

【解答】解：法一 $\because$

$$ (\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\lambda \vec{a}-\vec{b}) \Leftrightarrow(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot(\lambda \vec{a}-\vec{b})=\lambda \vec{a}^{2}-\lambda \vec{b}^{2}+\left(\lambda^{2}-1\right) \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\lambda^{2}-1\right. $$

，
又 $\because \vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0 \Leftrightarrow \lambda^{2}-1=0 \Leftrightarrow \lambda= \pm 1$.
法二 $\because \overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 是夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的单位向量，画图知 $\lambda=1$ 时 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 构成菱形，排除 $A, B, D$
选项，
故选 C。
【点评】本题考查了向量垂直关系，又考查了充分必要条件，一题双向考查，比较接近高考题的出题趋势。