2016_浙江卷
13．（6 分）（2016•浙江）设数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前 n 项和为 $\mathrm { \Delta S _ { n } , }$ ，若 $\mathrm { S } _ { 2 } { = } 4$ $\mathrm { a _ { n + 1 } } { = } 2 \mathrm { S _ { n } } { + } 1$ $\mathrm { \tt n } { \in } \mathrm { \tt N } ^ { \ast }$ ，则${ \bf a } _ { 1 } =$ ${ \mathrm { S } } _ { 5 } { = }$
1，121
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】数列的概念及简单表示法
【分析】运用n=1时， $\mathbf { a } _ { 1 } \mathrm { = } \mathbf { S } _ { 1 }$ ，代入条件，结合 $\mathrm { S } _ { 2 } { = } 4$ ，解方程可得首项；再由 $\mathbf { n } > 1$ 时，$\mathrm { a _ { n + 1 } } { = } \mathrm { S } _ { \mathrm { n } { + } 1 } - \mathrm { S } _ { \mathrm { n } } { , }$ ，结合条件，计算即可得到所求和
【解答】解：由n=1时， $\mathbf { a } _ { 1 } { = } \mathbf { S } _ { 1 }$ ，可得 $\mathrm { a } _ { 2 } { = } 2 \mathrm { S } _ { 1 } { + } 1 { = } 2 \mathrm { a } _ { 1 } { + } 1$
又 $\mathrm { S } _ { 2 } { = } 4$ ，即 $\mathbf { a } _ { 1 } + \mathbf { a } _ { 2 } { = } 4$
即有 $3 { \mathrm { a } } _ { 1 } + 1 { = } 4$ ，解得 $\mathrm { a } _ { 1 } { = } 1$
由 $\mathbf { a } _ { \mathrm { n + 1 } } { = } \mathbf { S } _ { \mathrm { n + 1 } } - \mathbf { S } _ { \mathrm { n } } ,$ ，可得
$$ \mathrm { S } _ { \mathrm { n } + 1 } { = } 3 \mathrm { S } _ { \mathrm { n } } { + } 1 ; $$
由 $\mathrm { S } _ { 2 } { = } 4$ ，可得 ${ \mathrm { S } } _ { 3 } { = } 3 { \times } 4 { + } 1 { = } 1 3$
$$ { \mathrm { S } } _ { 4 } { = } 3 { \times } 1 3 { + } 1 { = } 4 0 { \mathrm { , } } $$
$$ { \mathrm { S } } _ { 5 } { = } 3 { \times } 4 0 { + } 1 { = } 1 2 1 { \mathrm { . } } $$
故答案为：1，121
【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时， $\mathrm { a } _ { 1 } { = } \mathrm { S } _ { 1 } , \mathrm { n } { > } 1$ 时， $\mathrm { a _ { n } { = } S _ { n } - S _ { n - 1 } }$ 考查运算能力，属于中档题